Laplace-Entwicklung

Studium

\det A = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j}\, a_{ij} \det A_{ij}

Voraussetzung: $A \in \mathbb{R}^{n \times n},$ $i \in \{1, \ldots, n\}$ $fest$

$A$: quadratische n × n-Matrix
$a_{ij}$: Eintrag von A in Zeile i und Spalte j
$A_{ij}$: (n − 1) × (n − 1)-Matrix, die aus A durch Streichen von Zeile i und Spalte j entsteht
$n$: Zeilen- und Spaltenzahl von A
$j$: Spaltenindex, über den summiert wird
$i$: Nummer der Zeile, nach der entwickelt wird
$(-1)^{i+j}$: Vorzeichen nach dem Schachbrettmuster

Die Determinante ist die Summe über eine Zeile aus Eintrag mal Vorzeichen mal Determinante der Streichungsmatrix.

Erklärung

Mit der Laplace-Entwicklung führt man eine $n \times n$ -Determinante auf $n$ Determinanten der Größe $(n-1) \times (n-1)$ zurück. Man wählt eine Zeile $i$ und bildet für jeden Eintrag $a_{ij}$ dieser Zeile:

die Streichungsmatrix $A_{ij}$ (Zeile $i$ und Spalte $j$ streichen),
ihre Determinante, den Minor $\det A_{ij}$ ,
das Vorzeichen $(-1)^{i+j}$ nach dem Schachbrettmuster $\begin{smallmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{smallmatrix}$ .

Die Summe aller Produkte $(-1)^{i+j} a_{ij} \det A_{ij}$ ist $\det A$ . Der Ausdruck $(-1)^{i+j} \det A_{ij}$ heißt Kofaktor. Genauso darf man nach einer Spalte $j$ entwickeln: $\det A = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \det A_{ij}$ . Das Ergebnis hängt nicht von der Wahl der Zeile oder Spalte ab.

Am wenigsten Arbeit macht eine Zeile oder Spalte mit vielen Nullen, denn deren Summanden fallen weg. Oft lohnt es sich, vorher mit Zeilenumformungen Nullen zu erzeugen. Für große $n$ ist der Aufwand ohne Nullen etwa $n!$ , dann ist die Umformung auf Dreiecksform besser.

Beispiele

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 5 & 2 \\ 0 & 1 & 7 & 1 \end{pmatrix}

Zeile 2 enthält nur einen Eintrag ungleich $0$ , nämlich $a_{23} = 1$ . Das Vorzeichen ist $(-1)^{2+3} = -1$ . Streichen von Zeile 2 und Spalte 3 lässt

A_{23} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \det A_{23} = 2(4 - 2) - 1(1 - 0) + 3(1 - 0) = 6.

Also ist $\det A = -1 \cdot 1 \cdot 6 = -6$ . Die $3 \times 3$ -Determinante wurde dabei selbst nach Zeile 1 entwickelt.

Typische Fehler

Das Schachbrettvorzeichen vergessen oder nach der Position in der Summe statt nach $(-1)^{i+j}$ vergeben. Bei $a_{23}$ ist es $-$ , auch wenn es der einzige Summand ist.
Den Eintrag $a_{ij}$ vergessen und nur Vorzeichen mal Minor addieren.
Beim Streichen die falsche Spalte entfernen, besonders bei Entwicklung nach einer Spalte.
Die Regel von Sarrus auf $4 \times 4$ -Matrizen übertragen. Sie gilt nur für $3 \times 3$ .

Laplace-Entwicklung