Rechenregeln für die Transponierte

Erklärung

Die Transponierte $A^T$ entsteht, indem man Zeilen und Spalten vertauscht: Aus einer $m \times n$-Matrix wird eine $n \times m$-Matrix, der Eintrag in Zeile $i$, Spalte $j$ wandert nach Zeile $j$, Spalte $i$.

Rechenregeln:

• $(A^T)^T = A$.
• $(A + C)^T = A^T + C^T$ und $(\lambda A)^T = \lambda A^T$.
• $(AB)^T = B^T A^T$: Die Reihenfolge kehrt sich um. Bei mehreren Faktoren gilt $(ABC)^T = C^T B^T A^T$.
• $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$ für invertierbare $A$.
• $\det(A^T) = \det A$ und $\operatorname{rg}(A^T) = \operatorname{rg}(A)$.

Die Umkehr der Reihenfolge ist schon aus Größengründen nötig: Für $A \in \mathbb{R}^{2 \times 3}$ und $B \in \mathbb{R}^{3 \times 4}$ ist $A^T B^T$ ein Produkt aus $3 \times 2$ und $4 \times 3$, das gar nicht definiert ist.

Eine Matrix mit $A^T = A$ heißt symmetrisch. Für jede Matrix $A$ ist $A^T A$ symmetrisch, denn $(A^T A)^T = A^T (A^T)^T = A^T A$. Das Standardskalarprodukt lässt sich als $\vec u \cdot \vec v = \vec u^{\,T} \vec v$ schreiben.

Beispiele

Für $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ und $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ist

Die falsche Reihenfolge liefert $A^T B^T = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$, eine andere Matrix.

Mit $\vec u = (1,\ 2,\ 2)^T$ und $\vec v = (3,\ 0,\ 4)^T$ ist $\vec u^{\,T} \vec v = 3 + 0 + 8 = 11$, eine $1 \times 1$-Matrix, also eine Zahl.

Typische Fehler

• $(AB)^T = A^T B^T$ schreiben. Richtig ist $B^T A^T$.
• Beim Transponieren nur die Diagonale spiegeln und die Größe nicht anpassen. Eine $2 \times 3$-Matrix wird zur $3 \times 2$-Matrix.
• $\vec u^{\,T} \vec v$ (eine Zahl) mit $\vec u\, \vec v^{\,T}$ (eine $n \times n$-Matrix) verwechseln.