Inverse einer 2×2-Matrix

Studium

A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Voraussetzung: $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix},$ $ad - bc \neq 0$

$A$: invertierbare 2×2-Matrix mit den Einträgen a, b, c, d
$a, b, c, d$: Einträge von A (a, b in der ersten Zeile, c, d in der zweiten)
$ad - bc$: Determinante von A
$A^{-1}$: inverse Matrix, es gilt A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = E (Einheitsmatrix)

Die Inverse einer 2×2-Matrix erhält man durch Tauschen der Diagonale, Negieren der Nebendiagonale und Teilen durch die Determinante.

Erklärung

Die inverse Matrix $A^{-1}$ macht die Wirkung von $A$ rückgängig: $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = E$ . Für $2 \times 2$ -Matrizen gibt es eine geschlossene Formel in drei Schritten:

Die Einträge auf der Hauptdiagonalen tauschen ( $a$ und $d$ ).
Die Einträge auf der Nebendiagonalen negieren ( $b$ und $c$ bekommen ein Minus).
Alles durch die Determinante $ad - bc$ teilen.

Die Inverse existiert genau dann, wenn $\det A = ad - bc \neq 0$ ist. Ist die Determinante $0$ , heißt $A$ singulär und hat keine Inverse.

Anwendung: Ein Gleichungssystem $A\vec{x} = \vec{b}$ mit invertierbarem $A$ hat die eindeutige Lösung $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$ . Für größere Matrizen bestimmt man die Inverse meist mit dem Gauß-Jordan-Verfahren.

Beispiele

Für $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ ist $\det A = 12 - 2 = 10$ :

A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}4 & -0{,}2 \\ -0{,}1 & 0{,}3 \end{pmatrix}

Probe: $A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 1{,}2 - 0{,}2 & -0{,}6 + 0{,}6 \\ 0{,}4 - 0{,}4 & -0{,}2 + 1{,}2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Das Gleichungssystem $3x + 2y = 8$ , $x + 4y = 6$ hat diese Koeffizientenmatrix. Die Lösung ist

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}4 \cdot 8 - 0{,}2 \cdot 6 \\ -0{,}1 \cdot 8 + 0{,}3 \cdot 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}

Probe: $3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 8$ und $2 + 4 \cdot 1 = 6$ .

Typische Fehler

Die Nebendiagonale tauschen statt negieren. Richtig: $a$ und $d$ tauschen die Plätze, $b$ und $c$ bleiben an ihrem Platz und bekommen nur ein Minus.
Jeden Eintrag einzeln invertieren. $A^{-1}$ ist nicht die Matrix der Kehrwerte $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \ldots$
Die Formel anwenden, obwohl $\det A = 0$ ist. Dann gibt es keine Inverse.
$\vec{x} = \vec{b} \cdot A^{-1}$ statt $A^{-1}\vec{b}$ rechnen. Die Reihenfolge der Faktoren ist wichtig.

Inverse einer 2×2-Matrix