Dimensionsformel (Rangsatz)

Studium

\dim V = \dim \operatorname{Kern} f + \dim \operatorname{Bild} f

Voraussetzung: $f\colon V \to W$ $linear$ $,$ $\dim V < \infty$

$f$: lineare Abbildung von V nach W
$V$: endlichdimensionaler Vektorraum, der Definitionsbereich von f
$W$: Vektorraum, in dem die Bilder von f liegen
$\operatorname{Kern} f$: Kern von f, alle Vektoren v mit f(v) = 0
$\operatorname{Bild} f$: Bild von f, alle Vektoren f(v) mit v aus V
$\dim$: Dimension, die Anzahl der Vektoren einer Basis

Die Dimension des Definitionsraums einer linearen Abbildung ist die Summe der Dimensionen von Kern und Bild.

Erklärung

Eine lineare Abbildung $f\colon V \to W$ „verbraucht" einen Teil der Dimensionen von $V$ : Die Richtungen im Kern werden auf $\vec 0$ abgebildet, die übrigen landen im Bild. Die Dimensionsformel sagt, dass dabei nichts verloren geht: Beide Dimensionen zusammen ergeben genau $\dim V$ .

Für eine Matrix $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ und die Abbildung $\vec x \mapsto A\vec x$ lautet sie

n = \dim \operatorname{Kern} A + \operatorname{rg}(A).

Dabei ist $n$ die Spaltenzahl, nicht die Zeilenzahl, und $\operatorname{rg}(A) = \dim \operatorname{Bild} A$ der Rang. Die Dimension des Kerns heißt auch Defekt.

Folgerungen:

$f$ ist genau dann injektiv, wenn $\operatorname{Kern} f = \{\vec 0\}$ , also wenn $\dim \operatorname{Bild} f = \dim V$ .
Ist $\dim V = \dim W$ , dann ist $f$ injektiv genau dann, wenn $f$ surjektiv ist.
Ist $\dim V > \dim W$ , kann $f$ nicht injektiv sein, denn $\dim \operatorname{Bild} f \le \dim W$ .

Die Formel setzt voraus, dass $V$ endlichdimensional ist. $W$ darf beliebig sein.

Beispiele

Für $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$ ist die zweite Zeile das Doppelte der ersten, also $\operatorname{rg}(A) = 1$ . Die Dimensionsformel liefert $\dim \operatorname{Kern} A = 3 - 1 = 2$ . Tatsächlich bilden $(-2,\ 1,\ 0)$ und $(-3,\ 0,\ 1)$ eine Basis des Kerns: Beide lösen $x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0$ und sind linear unabhängig.

Die Ableitung $D(p) = p'$ auf den Polynomen vom Grad höchstens $3$ ( $\dim V = 4$ ): Der Kern sind die Konstanten ( $\dim 1$ ), das Bild sind die Polynome vom Grad höchstens $2$ ( $\dim 3$ ). Es gilt $4 = 1 + 3$ .

Jede lineare Abbildung $\mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^3$ hat $\dim \operatorname{Bild} f \le 3$ , also $\dim \operatorname{Kern} f \ge 5 - 3 = 2$ . Ein homogenes System mit 3 Gleichungen und 5 Unbekannten hat deshalb immer mindestens 2 freie Parameter.

Typische Fehler

Bei $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ die Zeilenzahl $m$ statt der Spaltenzahl $n$ einsetzen. Richtig: $n = \dim \operatorname{Kern} A + \operatorname{rg}(A)$ .
$\dim W$ statt $\dim V$ auf die linke Seite schreiben. Die Formel bezieht sich auf den Definitionsraum.
Die Dimension des Kerns mit der Anzahl der Nullzeilen in der Stufenform verwechseln. Bei nicht quadratischen Matrizen gilt: $\dim \operatorname{Kern} A$ ist die Zahl der freien Variablen, also $n$ minus Zahl der Stufen.

Dimensionsformel (Rangsatz)