Flächeninhalt eines Parallelogramms mit Vektoren

Oberstufe

F = |\vec{a} \times \vec{b}|

Voraussetzung: $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R}^3$

$F$: Flächeninhalt des Parallelogramms
$\vec{a}, \vec{b}$: die beiden Vektoren, die das Parallelogramm aufspannen (zwei anliegende Seiten)
$\vec{a} \times \vec{b}$: Kreuzprodukt der beiden Vektoren

Der Flächeninhalt des von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms ist der Betrag ihres Kreuzprodukts.

Erklärung

Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ , die vom selben Punkt ausgehen, spannen ein Parallelogramm auf. Sein Flächeninhalt ist die Länge des Kreuzprodukts. Das passt zur bekannten Formel „Grundseite mal Höhe“, denn

|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin\varphi,

und $|\vec{b}| \cdot \sin\varphi$ ist genau die Höhe auf der Seite $\vec{a}$ .

Bei einem Parallelogramm $ABCD$ nimmt man $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$ und $\vec{b} = \overrightarrow{AD}$ , also zwei Seiten, die an derselben Ecke anliegen.

Liegen die Vektoren in der Ebene, ergänzt man die dritte Koordinate $0$ . Dann bleibt nur $F = |a_1 b_2 - a_2 b_1|$ .

Beispiele

$\vec{a} = (3,\ 0,\ 0)$ und $\vec{b} = (1,\ 2,\ 0)$ liegen in der $x_1 x_2$ -Ebene:

\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \cdot 2 - 0 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad F = 6

Probe: Grundseite $3$ , Höhe $2$ , also $3 \cdot 2 = 6$ .

Für $\vec{a} = (1,\ 2,\ 2)$ und $\vec{b} = (2,\ 0,\ 1)$ :

\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 - 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 0 - 2 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad F = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29} \approx 5{,}39

Typische Fehler

Den Betrag vergessen und den Vektor $\vec{a} \times \vec{b}$ als Fläche angeben. Die Fläche ist eine Zahl.
Zwei gegenüberliegende Seiten verwenden, z.B. $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{DC}$ . Die sind parallel, das Kreuzprodukt wäre der Nullvektor.
Die Diagonale statt einer Seite verwenden. Dann erhält man die Fläche eines anderen Parallelogramms.

Flächeninhalt eines Parallelogramms mit Vektoren