Rang einer Matrix

Studium

\operatorname{rg}(A) = \dim \operatorname{Bild} A = \operatorname{rg}(A^{T}) \le \min(m, n)

Voraussetzung: $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$

$A$: Matrix mit m Zeilen und n Spalten
$\operatorname{rg}(A)$: Rang von A, die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten (oder Zeilen)
$\operatorname{Bild} A$: Spaltenraum von A, alle Vektoren Ax
$A^{T}$: transponierte Matrix von A
$m, n$: Zeilen- und Spaltenzahl von A

Der Rang einer Matrix ist die Höchstzahl linear unabhängiger Spalten; er ist gleich dem Zeilenrang und höchstens min(m, n).

Erklärung

Der Rang $\operatorname{rg}(A)$ einer Matrix ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten. Gleichwertig ist er die Dimension des Spaltenraums $\operatorname{Bild} A = \{A\vec x\}$ . Ein zentraler Satz besagt: Zeilenrang = Spaltenrang, also $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^T)$ . Deshalb gilt $\operatorname{rg}(A) \le \min(m, n)$ .

So bestimmt man den Rang:

$A$ mit dem Gauß-Algorithmus in Zeilenstufenform bringen. Zeilenumformungen ändern den Rang nicht.
Die Zahl der Zeilen zählen, die nicht nur Nullen enthalten. Das ist der Rang.

Alternativ ist der Rang die Größe des größten quadratischen Teilblocks (Minor) mit Determinante ungleich $0$ . Für eine quadratische Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ gilt: $\operatorname{rg}(A) = n$ genau dann, wenn $\det A \neq 0$ , also wenn $A$ invertierbar ist.

Beispiele

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \\ 3 & 6 & 1 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{\ \text{II} - 2\,\text{I},\ \text{III} - 3\,\text{I}\ }\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{\ \text{III} - \text{II}\ }\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Zwei Zeilen sind ungleich null, also $\operatorname{rg}(A) = 2$ . Gegenprobe: $\det A = 0$ , aber der Minor aus Zeilen 1, 2 und Spalten 2, 3 ist $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} = -4 \neq 0$ . Man sieht es auch direkt: Spalte 2 ist das Doppelte von Spalte 1.

Jede Matrix der Form $\vec u\, \vec v^{\,T}$ mit $\vec u, \vec v \neq \vec 0$ hat Rang $1$ , denn alle Spalten sind Vielfache von $\vec u$ . Beispiel: $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} (3 \ \ 4) = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$ mit Determinante $0$ .

Typische Fehler

Die Zahl der Nullzeilen statt der Nicht-Nullzeilen zählen.
Spaltenumformungen und Zeilenumformungen mischen und dann die Lösung eines Gleichungssystems ablesen. Für den Rang sind beide erlaubt, für das Lösen nur Zeilenumformungen.
Aus $\det A = 0$ schließen, dass $\operatorname{rg}(A) = 0$ ist. $\det A = 0$ heißt nur, dass der Rang kleiner als $n$ ist. Rang $0$ hat nur die Nullmatrix.
Annehmen, der Rang einer $2 \times 3$ -Matrix könne $3$ sein. Er ist höchstens $\min(2, 3) = 2$ .

Rang einer Matrix