Orthogonalität von Vektoren

Oberstufe

\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0

Voraussetzung: $\vec{a} \neq \vec{0},$ $\vec{b} \neq \vec{0}$

$\vec{a}, \vec{b}$: zwei Vektoren, keiner davon der Nullvektor
$\perp$: steht senkrecht auf (ist orthogonal zu)
$\vec{a} \cdot \vec{b}$: Skalarprodukt der beiden Vektoren

Zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist.

Erklärung

Aus $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\varphi$ folgt: Sind beide Vektoren vom Nullvektor verschieden, ist das Skalarprodukt genau dann $0$ , wenn $\cos\varphi = 0$ ist, also $\varphi = 90^\circ$ . Zwei solche Vektoren heißen orthogonal.

Damit lässt sich ohne Winkelberechnung prüfen, ob zwei Richtungen senkrecht sind. Typische Anwendungen:

prüfen, ob ein Dreieck oder Viereck einen rechten Winkel hat,
einen Normalenvektor finden, der auf zwei Richtungen senkrecht steht,
einen unbekannten Parameter so bestimmen, dass zwei Vektoren senkrecht werden.

Der Nullvektor ergibt mit jedem Vektor das Skalarprodukt $0$ , hat aber keine Richtung. Deshalb wird er ausgeschlossen.

Beispiele

Sind $\vec{a} = (2,\ 1,\ -3)$ und $\vec{b} = (1,\ 4,\ 2)$ orthogonal?

\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 + 4 - 6 = 0

Ja, die Vektoren stehen senkrecht aufeinander.

Für welches $t$ sind $(1,\ t,\ 2)$ und $(3,\ -1,\ t)$ orthogonal?

1 \cdot 3 + t \cdot (-1) + 2 \cdot t = 3 + t = 0 \quad\Rightarrow\quad t = -3

In der Ebene steht $(3,\ 4)$ senkrecht auf $(-4,\ 3)$ : $-12 + 12 = 0$ . Allgemein steht $(a_1,\ a_2)$ senkrecht auf $(-a_2,\ a_1)$ .

Typische Fehler

Prüfen, ob das Skalarprodukt $1$ ist. Senkrecht bedeutet Skalarprodukt $0$ .
Aus „Skalarprodukt $0$ “ auf senkrecht schließen, obwohl ein Vektor der Nullvektor ist.
Orthogonal und parallel verwechseln: $(1,\ 1,\ 0)$ und $(1,\ -1,\ 0)$ sind orthogonal (Skalarprodukt $0$ ), aber nicht parallel. Parallel sind Vektoren, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist.

Orthogonalität von Vektoren