Abstand Punkt–Ebene (Hessesche Normalform)

Oberstufe

\operatorname{dist}(Q, E) = \frac{|n_1 q_1 + n_2 q_2 + n_3 q_3 - d|}{\sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2}}

Voraussetzung: $E\colon n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = d,$ $(n_1, n_2, n_3) \neq (0, 0, 0)$

$\operatorname{dist}(Q, E)$: Abstand des Punkts Q von der Ebene E (oft auch d(Q, E) geschrieben)
$Q(q_1 \mid q_2 \mid q_3)$: Punkt, dessen Abstand gesucht ist
$n_1, n_2, n_3$: Koordinaten des Normalenvektors aus der Koordinatenform von E
$d$: rechte Seite der Koordinatenform von E

Den Abstand eines Punkts von einer Ebene erhält man, indem man ihn in die durch die Normalenlänge geteilte Koordinatenform einsetzt.

Erklärung

Der Abstand eines Punkts $Q$ von einer Ebene $E$ ist die Länge des kürzesten Wegs, also des Lots von $Q$ auf $E$ . Mit der Koordinatenform von $E$ geht das in einem Schritt:

Die Ebene in Koordinatenform bringen und alles auf eine Seite schreiben: $n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 - d = 0$ .
Durch die Länge $|\vec{n}|$ des Normalenvektors teilen. Das Ergebnis heißt Hessesche Normalform (HNF):

E\colon \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 - d}{|\vec{n}|} = 0

Die Koordinaten von $Q$ in die linke Seite einsetzen und den Betrag nehmen.

Ohne Betrag sagt das Vorzeichen, auf welcher Seite der Ebene $Q$ liegt: Bei positivem Wert liegt $Q$ auf der Seite, in die $\vec{n}$ zeigt. Ergibt sich $0$ , liegt $Q$ in der Ebene.

Beispiele

Abstand von $Q(4 \mid 1 \mid 5)$ zur Ebene $E\colon 2x_1 - x_2 + 2x_3 = -3$ . Es ist $|\vec{n}| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$ , die HNF lautet $\frac{2x_1 - x_2 + 2x_3 + 3}{3} = 0$ :

\operatorname{dist}(Q, E) = \frac{|2 \cdot 4 - 1 + 2 \cdot 5 + 3|}{3} = \frac{20}{3} \approx 6{,}67

Abstand von $Q(5 \mid 7 \mid 5)$ zur Ebene $E\colon 3x_1 + 4x_3 = 10$ . Der Normalenvektor $(3,\ 0,\ 4)$ hat die Länge $5$ :

\operatorname{dist}(Q, E) = \frac{|3 \cdot 5 + 4 \cdot 5 - 10|}{5} = \frac{25}{5} = 5

Typische Fehler

Nicht durch $|\vec{n}|$ teilen. Im ersten Beispiel käme $20$ statt $\frac{20}{3}$ heraus.
Das Vorzeichen von $d$ beim Umstellen falsch übernehmen: Aus $= -3$ wird $+3$ auf der linken Seite.
Den Betrag vergessen und einen negativen Abstand angeben.
Fehlende Variablen falsch behandeln: Bei $3x_1 + 4x_3 = 10$ ist $n_2 = 0$ , und $|\vec{n}| = \sqrt{9 + 16} = 5$ .

Abstand Punkt–Ebene (Hessesche Normalform)