Determinante einer 3×3-Matrix (Regel von Sarrus)

Studium

\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}

Voraussetzung: $A = (a_{ij}) \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$

$A$: quadratische Matrix mit 3 Zeilen und 3 Spalten
$a_{ij}$: Eintrag in Zeile i und Spalte j
$\det A$: Determinante von A

Die Regel von Sarrus berechnet die Determinante einer 3×3-Matrix aus drei positiven und drei negativen Diagonalprodukten.

Erklärung

Die Regel von Sarrus ist ein Rechenschema für die Determinante einer $3 \times 3$ -Matrix. Sie funktioniert nur für diese Größe, nicht für größere Matrizen:

Die ersten beiden Spalten rechts neben die Matrix schreiben.
Die drei Diagonalen von links oben nach rechts unten multiplizieren und addieren.
Die drei Diagonalen von rechts oben nach links unten multiplizieren und abziehen.

\begin{array}{ccc|cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{array}

Gleichwertig ist die Laplace-Entwicklung nach der ersten Zeile:

\det A = a_{11} \det\begin{pmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} - a_{12} \det\begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} + a_{13} \det\begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}

Die Determinante ist genau dann ungleich $0$ , wenn $A$ invertierbar ist, also wenn die Spalten linear unabhängig sind. Ihr Betrag ist das Volumen des Spats, den die Spalten (oder Zeilen) aufspannen. Für Dreiecksmatrizen ist sie das Produkt der Diagonaleinträge.

Beispiele

\det \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix} = 2 \cdot 3 \cdot 4 + 0 \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot 3 \cdot 1 - 2 \cdot 2 \cdot 1 - 0 \cdot 1 \cdot 4 = 24 + 0 + 1 - 3 - 4 - 0 = 18

Kontrolle mit Laplace-Entwicklung nach der ersten Zeile:

2 \cdot (12 - 2) - 0 \cdot (4 - 2) + 1 \cdot (1 - 3) = 20 - 0 - 2 = 18

Für die obere Dreiecksmatrix $\begin{pmatrix} 2 & 5 & -1 \\ 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}$ ist $\det = 2 \cdot 3 \cdot (-4) = -24$ .

Typische Fehler

Die Regel von Sarrus auf $4 \times 4$ -Matrizen übertragen. Sie gilt nur für $3 \times 3$ ; für größere Matrizen nimmt man Laplace-Entwicklung oder Gauß-Elimination.
Die Nebendiagonalen addieren statt abziehen.
Bei der Laplace-Entwicklung das Vorzeichenschachbrett vergessen: Der mittlere Term der ersten Zeile hat ein Minus.

Determinante einer 3×3-Matrix (Regel von Sarrus)