Gauß-Algorithmus

Oberstufe

\left(\begin{array}{ccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3 \end{array}\right) \;\longrightarrow\; \left(\begin{array}{ccc|c} \ast & \ast & \ast & \ast \\ 0 & \ast & \ast & \ast \\ 0 & 0 & \ast & \ast \end{array}\right)

$a_{ij}$: Koeffizient der Unbekannten xⱼ in der i-ten Gleichung
$b_i$: rechte Seite der i-ten Gleichung
$\ast$: beliebige Zahl, die beim Umformen entsteht

Man formt ein lineares Gleichungssystem mit erlaubten Zeilenumformungen in Stufenform um und löst es von unten nach oben.

Erklärung

Mit dem Gauß-Algorithmus löst man lineare Gleichungssysteme mit beliebig vielen Unbekannten. Man schreibt die Koeffizienten in eine erweiterte Koeffizientenmatrix und bringt sie mit erlaubten Umformungen in Stufenform (Dreiecksform): Unterhalb der Diagonalen stehen nur Nullen.

Erlaubte Umformungen, die die Lösungsmenge nicht ändern:

zwei Gleichungen vertauschen,
eine Gleichung mit einer Zahl ungleich $0$ multiplizieren,
ein Vielfaches einer Gleichung zu einer anderen addieren.

Danach liest man die letzte Unbekannte aus der letzten Zeile ab und setzt rückwärts in die Zeilen darüber ein.

An der Stufenform erkennt man auch die Zahl der Lösungen:

Eine Zeile $0 = c$ mit $c \neq 0$ : keine Lösung.
Eine Zeile $0 = 0$ und dadurch weniger echte Gleichungen als Unbekannte: unendlich viele Lösungen mit freiem Parameter.
Sonst: genau eine Lösung.

Beispiele

\begin{aligned} \text{I:}\quad x_1 + x_2 + x_3 &= 6 \\ \text{II:}\quad 2x_1 - x_2 + x_3 &= 3 \\ \text{III:}\quad x_1 + 2x_2 - x_3 &= 2 \end{aligned}

Mit $\text{II} - 2 \cdot \text{I}$ und $\text{III} - \text{I}$ fällt $x_1$ heraus:

\begin{aligned} \text{II}'\colon\quad -3x_2 - x_3 &= -9 \\ \text{III}'\colon\quad x_2 - 2x_3 &= -4 \end{aligned}

Mit $3 \cdot \text{III}' + \text{II}'$ fällt $x_2$ heraus: $-7x_3 = -21$ , also $x_3 = 3$ . Rückwärts eingesetzt: $-3x_2 - 3 = -9$ ergibt $x_2 = 2$ , und aus I folgt $x_1 = 6 - 2 - 3 = 1$ . Die Lösung ist $(1 \mid 2 \mid 3)$ .

Das System $x_1 + x_2 = 2$ , $2x_1 + 2x_2 = 5$ führt mit $\text{II} - 2 \cdot \text{I}$ auf $0 = 1$ . Es hat keine Lösung.

Das System $x_1 + x_2 = 2$ , $2x_1 + 2x_2 = 4$ führt auf $0 = 0$ . Mit $x_2 = t$ ist $x_1 = 2 - t$ , es gibt unendlich viele Lösungen $(2 - t \mid t)$ , $t \in \mathbb{R}$ .

Typische Fehler

Beim Addieren eines Vielfachen nur die linke Seite umformen und die rechte Seite vergessen.
Vorzeichenfehler beim Subtrahieren, z.B. $-1 - 2 \cdot 1 = -3$ , nicht $-1$ .
Eine Zeile mit $0$ multiplizieren. Dabei geht eine Gleichung verloren.
Aus einer Zeile $0 = 0$ schließen, dass das System keine Lösung hat. Sie bedeutet einen freien Parameter, nicht einen Widerspruch.

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