Matrizenmultiplikation

Studium

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \, b_{kj}

Voraussetzung: $A \in \mathbb{R}^{m \times n},$ $B \in \mathbb{R}^{n \times p}$

$A = (a_{ik})$: Matrix mit m Zeilen und n Spalten
$B = (b_{kj})$: Matrix mit n Zeilen und p Spalten
$(AB)_{ij}$: Eintrag des Produkts in Zeile i und Spalte j; AB hat m Zeilen und p Spalten
$n$: Spaltenzahl von A, gleich der Zeilenzahl von B

Der Eintrag in Zeile i und Spalte j des Produkts AB ist das Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B.

Erklärung

Zwei Matrizen lassen sich nur multiplizieren, wenn die Spaltenzahl der linken gleich der Zeilenzahl der rechten ist. Aus einer $m \times n$ - und einer $n \times p$ -Matrix entsteht eine $m \times p$ -Matrix.

Jeder Eintrag entsteht nach der Regel „Zeile mal Spalte“: Man nimmt die $i$ -te Zeile von $A$ und die $j$ -te Spalte von $B$ , multipliziert die Einträge paarweise und addiert. Das ist das Skalarprodukt dieser Zeile mit dieser Spalte.

Wichtige Eigenschaften:

Nicht kommutativ: Im Allgemeinen ist $AB \neq BA$ , selbst wenn beide Produkte definiert sind.
Assoziativ und distributiv: $(AB)C = A(BC)$ , $A(B + C) = AB + AC$ .
$AB$ entspricht der Hintereinanderausführung der linearen Abbildungen: erst $B$ , dann $A$ .
$\det(AB) = \det A \cdot \det B$ für quadratische Matrizen.

Ein Spezialfall ist Matrix mal Vektor ( $p = 1$ ). So schreibt man lineare Gleichungssysteme kompakt als $A\vec{x} = \vec{b}$ .

Beispiele

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 0 + 2 \cdot 5 & 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) \\ 3 \cdot 0 + 4 \cdot 5 & 3 \cdot 1 + 4 \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & -3 \\ 20 & -5 \end{pmatrix}

In umgekehrter Reihenfolge:

\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

Die beiden Produkte sind verschieden. Der Determinantensatz gilt trotzdem: $\det(AB) = 10 \cdot (-5) - (-3) \cdot 20 = 10$ und $\det A \cdot \det B = (-2) \cdot (-5) = 10$ .

Eine $2 \times 3$ -Matrix mal einen Vektor aus $\mathbb{R}^3$ :

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 0 + 4 \\ -3 + 3 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix}

Typische Fehler

Eintragsweise multiplizieren ( $a_{ij} \cdot b_{ij}$ ). Das ist das Hadamard-Produkt, nicht das Matrizenprodukt.
$AB = BA$ annehmen und Faktoren beim Umformen vertauschen. Aus $AX = B$ folgt (für invertierbares $A$ ) $X = A^{-1}B$ , nicht $X = BA^{-1}$ .
Matrizen mit unpassenden Formaten multiplizieren, z.B. eine $2 \times 3$ - mit einer $2 \times 3$ -Matrix.

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