Parameterform einer Ebene

Oberstufe

E\colon \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}

Voraussetzung: $\vec{u}, \vec{v}$ $linear$ $unabhängig$ $,$ $r, s \in \mathbb{R}$

$E$: Name der Ebene
$\vec{x}$: Ortsvektor eines beliebigen Punkts der Ebene
$\vec{p}$: Stützvektor, Ortsvektor eines festen Punkts P der Ebene
$\vec{u}, \vec{v}$: Spannvektoren (Richtungsvektoren), zwei nicht parallele Richtungen in der Ebene
$r, s$: Parameter, reelle Zahlen

Jeder Punkt einer Ebene entsteht aus einem festen Punkt plus Vielfachen zweier nicht paralleler Spannvektoren.

Erklärung

Eine Ebene im Raum ist festgelegt durch einen Punkt und zwei Richtungen. In der Parameterform heißen diese:

Stützvektor $\vec{p}$ : führt zu einem Punkt $P$ der Ebene,
Spannvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ : zwei Richtungen, die in der Ebene liegen.

Mit den Parametern $r$ und $s$ erreicht man jeden Punkt der Ebene. Die Spannvektoren dürfen nicht parallel sein (keiner ist ein Vielfaches des anderen), sonst beschreibt die Gleichung nur eine Gerade.

Für die Ebene durch drei Punkte $A$ , $B$ , $C$ nimmt man $\vec{p} = \vec{a}$ , $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ und $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$ . Die drei Punkte dürfen dabei nicht auf einer Geraden liegen.

Für viele Rechnungen (Abstand, Schnittwinkel, Lage von Punkten) ist die Koordinatenform praktischer. Man kommt zu ihr über einen Normalenvektor, z.B. $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ .

Beispiele

Ebene durch $A(1 \mid 0 \mid 2)$ , $B(3 \mid 1 \mid 2)$ und $C(0 \mid 2 \mid 5)$ . Mit $\overrightarrow{AB} = (2,\ 1,\ 0)$ und $\overrightarrow{AC} = (-1,\ 2,\ 3)$ :

E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}

Die Spannvektoren sind nicht parallel: Wäre $\vec{u} = k \cdot \vec{v}$ , müsste wegen der dritten Koordinate $0 = k \cdot 3$ , also $k = 0$ sein. Dann wäre aber auch die erste Koordinate $0$ statt $2$ .

Mit $r = 1$ und $s = 1$ erhält man den Punkt $(1 + 2 - 1 \mid 0 + 1 + 2 \mid 2 + 0 + 3) = (2 \mid 3 \mid 5)$ , der ebenfalls in $E$ liegt.

Typische Fehler

Ortsvektoren von $B$ und $C$ als Spannvektoren nehmen. Richtig sind die Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ .
Für beide Spannvektoren denselben Parameter verwenden. $\vec{p} + t \cdot (\vec{u} + \vec{v})$ ist nur eine Gerade.
Drei Punkte auf einer Geraden verwenden. Dann sind die Spannvektoren parallel, und es entsteht keine Ebene.

Parameterform einer Ebene