Schnittwinkel Gerade–Ebene

Oberstufe

\sin\alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}

Voraussetzung: $\vec{u} \neq \vec{0},$ $\vec{n} \neq \vec{0},$ $0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ$

$\alpha$: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene
$\vec{u}$: Richtungsvektor der Geraden
$\vec{n}$: Normalenvektor der Ebene

Der Sinus des Schnittwinkels zwischen Gerade und Ebene ergibt sich aus Richtungsvektor und Normalenvektor.

Erklärung

Der Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene ist der Winkel zwischen der Geraden und ihrer senkrechten Projektion in die Ebene. Er liegt zwischen $0^\circ$ und $90^\circ$ .

Man rechnet mit dem Normalenvektor der Ebene. Der Winkel zwischen $\vec{u}$ und $\vec{n}$ ergänzt den gesuchten Winkel zu $90^\circ$ . Wegen $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ steht deshalb Sinus statt Kosinus in der Formel.

Der Betrag im Zähler sorgt dafür, dass immer der spitze Winkel herauskommt, egal in welche Richtung $\vec{u}$ und $\vec{n}$ zeigen.

Sonderfälle:

$\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ : Die Gerade ist parallel zur Ebene oder liegt in ihr, $\alpha = 0^\circ$ .
$\vec{u}$ ist ein Vielfaches von $\vec{n}$ : Die Gerade steht senkrecht auf der Ebene, $\alpha = 90^\circ$ .

Beispiele

Gerade mit $\vec{u} = (1,\ 0,\ 1)$ , Ebene $x_3 = 0$ mit $\vec{n} = (0,\ 0,\ 1)$ :

\sin\alpha = \frac{|0 + 0 + 1|}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \quad\Rightarrow\quad \alpha = 45^\circ

Gerade mit $\vec{u} = (2,\ -3,\ 4)$ , Ebene $2x_1 - x_2 + 2x_3 = -3$ mit $\vec{n} = (2,\ -1,\ 2)$ :

\sin\alpha = \frac{|4 + 3 + 8|}{\sqrt{29} \cdot 3} = \frac{5}{\sqrt{29}} \quad\Rightarrow\quad \alpha \approx 68{,}20^\circ

Typische Fehler

Kosinus statt Sinus verwenden. Im zweiten Beispiel käme $21{,}80^\circ$ heraus, das ist der Winkel zwischen Gerade und Normalenvektor.
Einen Spannvektor der Ebene statt des Normalenvektors einsetzen.
Den Betrag im Zähler vergessen und dadurch einen negativen Sinus erhalten.

Schnittwinkel Gerade–Ebene