Inverse über die Adjunkte

Studium

A^{-1} = \frac{1}{\det A} \operatorname{adj}(A), \qquad \operatorname{adj}(A)_{ij} = (-1)^{i+j} \det A_{ji}

Voraussetzung: $A \in \mathbb{R}^{n \times n},$ $\det A \neq 0$

$A$: invertierbare n × n-Matrix
$\operatorname{adj}(A)$: Adjunkte von A, die Transponierte der Kofaktormatrix
$A_{ji}$: Streichungsmatrix ohne Zeile j und Spalte i
$\det A$: Determinante von A

Die Inverse ist die Adjunkte, also die transponierte Matrix der Kofaktoren, geteilt durch die Determinante.

Erklärung

Die Adjunkte $\operatorname{adj}(A)$ (auch adjungierte oder komplementäre Matrix) entsteht in zwei Schritten:

Für jede Position $(i, j)$ den Kofaktor $C_{ij} = (-1)^{i+j} \det A_{ij}$ berechnen. Dabei ist $A_{ij}$ die Matrix ohne Zeile $i$ und Spalte $j$ .
Die Kofaktormatrix $C = (C_{ij})$ transponieren: $\operatorname{adj}(A) = C^T$ .

Es gilt $A \cdot \operatorname{adj}(A) = \operatorname{adj}(A) \cdot A = \det A \cdot E$ . Ist $\det A \neq 0$ , folgt daraus die Formel für $A^{-1}$ . Für $2 \times 2$ -Matrizen ergibt sich die bekannte Regel „Diagonale tauschen, Nebendiagonale negieren".

Für $3 \times 3$ -Matrizen ist das Verfahren handlich, für größere Matrizen ist der Gauß-Jordan-Algorithmus schneller. Die Formel ist trotzdem theoretisch wichtig: Sie zeigt, dass die Einträge von $A^{-1}$ rationale Funktionen der Einträge von $A$ sind, und sie steckt hinter der Cramerschen Regel.

Beispiele

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \det A = 5

Die Kofaktoren, zeilenweise:

C = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ -2 & 4 & 1 \end{pmatrix}

Zum Beispiel ist $C_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -2$ und $C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 4$ . Transponieren und durch $5$ teilen:

A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ -2 & 1 & 4 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}

Probe für den Eintrag $(1, 1)$ von $A \cdot \operatorname{adj}(A)$ : $1 \cdot 1 + 0 \cdot (-2) + 2 \cdot 2 = 5 = \det A$ .

Typische Fehler

Das Transponieren vergessen und die Kofaktormatrix $C$ statt $C^T$ verwenden. Bei symmetrischen Matrizen fällt das nicht auf, sonst schon.
Das Schachbrettvorzeichen $(-1)^{i+j}$ weglassen.
Am Ende nicht durch $\det A$ teilen.
Die Formel anwenden, obwohl $\det A = 0$ ist. Dann existiert keine Inverse; $A \cdot \operatorname{adj}(A) = 0$ bleibt aber richtig.

Inverse über die Adjunkte