Rechenregeln für Determinanten

Erklärung

Für quadratische $n \times n$-Matrizen gelten diese Regeln:

• Produktsatz: $\det(AB) = \det A \cdot \det B$.
• Transponieren: $\det(A^T) = \det A$. Alles, was für Zeilen gilt, gilt daher auch für Spalten.
• Skalar: $\det(\lambda A) = \lambda^n \det A$, weil jede der $n$ Zeilen den Faktor $\lambda$ trägt.
• Inverse: Ist $A$ invertierbar, dann $\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det A}$. Das folgt aus dem Produktsatz mit $A A^{-1} = E$.
• Invertierbarkeit: $A$ ist genau dann invertierbar, wenn $\det A \neq 0$.

Wirkung von Zeilenumformungen:

• Zwei Zeilen vertauschen: Die Determinante wechselt das Vorzeichen.
• Eine Zeile mit $\lambda$ multiplizieren: Die Determinante wird mit $\lambda$ multipliziert.
• Ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren: Die Determinante bleibt gleich.

Außerdem ist die Determinante einer Dreiecksmatrix das Produkt der Diagonaleinträge. Zusammen mit den Zeilenumformungen ergibt das ein schnelles Verfahren für große Matrizen: auf Dreiecksform bringen, Vorzeichenwechsel und Faktoren mitzählen.

Beispiele

Für $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ und $B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ ist $\det A = 5$ und $\det B = 2$. Das Produkt ist $AB = \begin{pmatrix} 2 & 10 \\ 1 & 10 \end{pmatrix}$ mit $\det(AB) = 20 - 10 = 10 = 5 \cdot 2$.

Mit $n = 2$ gilt $\det(3A) = 3^2 \cdot 5 = 45$, nicht $3 \cdot 5$. Außerdem ist $\det(A^{-1}) = \frac{1}{5}$.

Typische Fehler

• $\det(\lambda A) = \lambda \det A$ rechnen. Der Faktor geht mit der Potenz $n$ ein.
• $\det(A + B) = \det A + \det B$ annehmen. Im Beispiel ist $A + B = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$ mit $\det(A + B) = 3 \cdot 5 - 5 \cdot 1 = 10$, aber $\det A + \det B = 7$. Eine Summenregel gibt es nicht.
• Beim Zeilentausch das Vorzeichen vergessen.
• Beim Multiplizieren einer Zeile mit $\lambda$ annehmen, die Determinante bleibe gleich. Sie wird mit $\lambda$ multipliziert.