Winkel zwischen zwei Vektoren

Oberstufe

\cos\varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}

Voraussetzung: $\vec{a} \neq \vec{0},$ $\vec{b} \neq \vec{0},$ $0^\circ \leq \varphi \leq 180^\circ$

$\vec{a}, \vec{b}$: zwei Vektoren, keiner davon der Nullvektor
$\vec{a} \cdot \vec{b}$: Skalarprodukt der beiden Vektoren
$|\vec{a}|, |\vec{b}|$: Beträge (Längen) der Vektoren
$\varphi$: Winkel zwischen den Vektoren, zwischen 0° und 180°

Der Kosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren ist ihr Skalarprodukt geteilt durch das Produkt ihrer Längen.

Erklärung

Die Formel folgt aus der geometrischen Form des Skalarprodukts, $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\varphi$ , nach $\cos\varphi$ umgestellt. Man berechnet also Skalarprodukt und Längen und wendet am Ende $\cos^{-1}$ (arccos) an.

Der Winkel zwischen zwei Vektoren liegt immer zwischen $0^\circ$ und $180^\circ$ :

$\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ : spitzer Winkel,
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ : rechter Winkel,
$\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ : stumpfer Winkel.

Für den Nullvektor ist kein Winkel definiert, weil man durch $0$ teilen müsste.

Beispiele

Für $\vec{a} = (1,\ 0,\ 1)$ und $\vec{b} = (0,\ 1,\ 1)$ :

\cos\varphi = \frac{0 + 0 + 1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad \varphi = 60^\circ

Für $\vec{a} = (2,\ 1,\ -2)$ und $\vec{b} = (1,\ -2,\ 2)$ ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 - 2 - 4 = -4$ und $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 3$ :

\cos\varphi = \frac{-4}{3 \cdot 3} = -\frac{4}{9} \quad\Rightarrow\quad \varphi \approx 116{,}39^\circ

Der Winkel ist stumpf, passend zum negativen Skalarprodukt.

Typische Fehler

Im Zähler Betragsstriche setzen. Das ist richtig für den Winkel zwischen Geraden oder Ebenen, nicht zwischen Vektoren. Im zweiten Beispiel käme $63{,}61^\circ$ heraus, der Nebenwinkel zu $116{,}39^\circ$ .
Den Taschenrechner im Bogenmaß lassen und $2{,}03$ statt $116{,}39^\circ$ ablesen.
Im Nenner die Längen addieren statt multiplizieren.

Winkel zwischen zwei Vektoren