Determinante einer 2×2-Matrix

Oberstufe

\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc

$a, d$: Einträge auf der Hauptdiagonalen (oben links, unten rechts)
$b, c$: Einträge auf der Nebendiagonalen (oben rechts, unten links)

Die Determinante einer 2×2-Matrix ist das Produkt der Hauptdiagonale minus das Produkt der Nebendiagonale.

Erklärung

Die Determinante ordnet einer quadratischen Matrix eine Zahl zu. Bei einer $2 \times 2$ -Matrix multipliziert man die Einträge auf der Hauptdiagonalen (von links oben nach rechts unten) und zieht das Produkt der Nebendiagonalen ab.

Was die Determinante aussagt:

$\det A \neq 0$ : Das lineare Gleichungssystem mit der Koeffizientenmatrix $A$ ist eindeutig lösbar, und $A$ ist invertierbar.
$\det A = 0$ : Die Zeilen (und Spalten) sind Vielfache voneinander. Das System hat keine oder unendlich viele Lösungen.
$|\det A|$ ist der Flächeninhalt des Parallelogramms, das die beiden Spaltenvektoren aufspannen. Das Vorzeichen gibt die Orientierung an.

Schreibweise: Statt $\det A$ schreibt man auch $|A|$ oder die Matrix mit senkrechten Strichen.

Beispiele

\det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = 3 \cdot 4 - 2 \cdot 1 = 10

\det \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = 2 \cdot 3 - 6 \cdot 1 = 0

Die erste Zeile ist das Doppelte der zweiten. Ein Gleichungssystem mit dieser Koeffizientenmatrix ist nicht eindeutig lösbar.

Mit negativen Einträgen:

\det \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} = (-1) \cdot 5 - 3 \cdot (-2) = -5 + 6 = 1

Typische Fehler

Die Produkte addieren statt subtrahieren: $3 \cdot 4 + 2 \cdot 1 = 14$ ist falsch, richtig ist $10$ .
Die Reihenfolge vertauschen und $bc - ad$ rechnen. Das ergibt das falsche Vorzeichen.
Vorzeichenfehler bei negativen Einträgen: $-3 \cdot (-2) = +6$ .

Determinante einer 2×2-Matrix