Lagebeziehung Gerade–Ebene

Erklärung

Eine Gerade $g$ und eine Ebene $E$ im Raum haben drei mögliche Lagen:

• Die Gerade schneidet die Ebene in genau einem Punkt, dem Durchstoßpunkt.
• Die Gerade ist echt parallel zur Ebene und hat keinen gemeinsamen Punkt mit ihr.
• Die Gerade liegt in der Ebene.

Am schnellsten geht es mit der Koordinatenform von $E$: Man setzt die Koordinaten der Geraden ein und erhält eine Gleichung für $t$.

• Genau eine Lösung $t$: Schnittpunkt. Man setzt $t$ in die Geradengleichung ein.
• Keine Lösung (eine falsche Aussage wie $1 = 4$): echt parallel.
• Unendlich viele Lösungen (eine wahre Aussage wie $4 = 4$): Die Gerade liegt in der Ebene.

Vorab erkennt man am Skalarprodukt $\vec{n} \cdot \vec{u}$, ob überhaupt ein Schnittpunkt möglich ist: Ist es $0$, steht der Richtungsvektor senkrecht auf dem Normalenvektor, die Gerade verläuft also parallel zur Ebene oder in ihr.

Beispiele

Gegeben ist $E\colon 2x_1 + x_2 - x_3 = 4$ mit $\vec{n} = (2,\ 1,\ -1)$.

Schnittpunkt: $g_1\colon \vec{x} = (1,\ 0,\ 1) + t \cdot (1,\ 1,\ 1)$. Einsetzen:

Der Durchstoßpunkt ist $S(2{,}5 \mid 1{,}5 \mid 2{,}5)$. Probe: $5 + 1{,}5 - 2{,}5 = 4$.

Echt parallel: $g_2\colon \vec{x} = (1,\ 0,\ 1) + t \cdot (1,\ -1,\ 1)$. Es ist $\vec{n} \cdot \vec{u} = 2 - 1 - 1 = 0$. Einsetzen ergibt $2(1 + t) - t - (1 + t) = 1$, also $1 = 4$, eine falsche Aussage.

In der Ebene: $g_3\colon \vec{x} = (2,\ 0,\ 0) + t \cdot (1,\ -1,\ 1)$. Einsetzen ergibt $2(2 + t) - t - t = 4$, also $4 = 4$ für jedes $t$.

Typische Fehler

• Den Parameterwert $t$ als Schnittpunkt angeben, statt ihn in die Geradengleichung einzusetzen.
• $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ als „senkrecht zur Ebene" deuten. Es bedeutet das Gegenteil: Die Gerade verläuft parallel zur Ebene oder in ihr.
• Beim Einsetzen die Klammern vergessen, z.B. $2 \cdot 1 + t$ statt $2(1 + t)$.