Drehmatrix in der Ebene

Erklärung

Mit der Drehmatrix $R(\varphi)$ dreht man einen Punkt oder Vektor $\vec v = (x,\ y)$ um den Ursprung. Der gedrehte Vektor ist

Ein positiver Winkel dreht gegen den Uhrzeigersinn, ein negativer im Uhrzeigersinn.

Die Spalten der Matrix kann man sich gut merken: Die erste Spalte ist das Bild von $(1,\ 0)$, also der Punkt $(\cos\varphi,\ \sin\varphi)$ auf dem Einheitskreis. Die zweite Spalte ist das Bild von $(0,\ 1)$, also $(-\sin\varphi,\ \cos\varphi)$.

Eigenschaften:

• Eine Drehung ändert keine Längen und keine Winkel.
• Zwei Drehungen hintereinander ergeben eine Drehung um die Summe der Winkel: $R(\alpha)\,R(\beta) = R(\alpha + \beta)$.
• Die Rückdrehung ist $R(-\varphi)$, das ist zugleich die Transponierte von $R(\varphi)$.
• $\det R(\varphi) = \cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1$.

Soll um einen anderen Punkt $Z$ gedreht werden, verschiebt man zuerst $Z$ in den Ursprung, dreht und verschiebt zurück.

Beispiele

Der Vektor $(2,\ 1)$ wird um $90^\circ$ gedreht. Mit $\cos 90^\circ = 0$ und $\sin 90^\circ = 1$ ergibt sich $(2 \cdot 0 - 1 \cdot 1,\ 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0) = (-1,\ 2)$.

Derselbe Vektor um $30^\circ$: Mit $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt3}{2}$ und $\sin 30^\circ = \frac12$ ist das Bild

Eine Drehung von $(3,\ 0)$ um $-90^\circ$ (im Uhrzeigersinn) ergibt $(0,\ -3)$.

Typische Fehler

• Das Minuszeichen in die falsche Zeile setzen. Dann dreht man im Uhrzeigersinn statt dagegen. Kontrolle: $(1,\ 0)$ muss bei kleinem positivem Winkel nach oben wandern.
• Den Taschenrechner im Bogenmaß lassen, obwohl der Winkel in Grad gegeben ist.
• Um einen Punkt $Z \neq 0$ drehen, ohne vorher zu verschieben.