Schnittwinkel zweier Ebenen

Erklärung

Zwei Ebenen, die sich schneiden, bilden zwei Winkelpaare, die sich zu $180^\circ$ ergänzen. Als Schnittwinkel gibt man den kleineren an, er liegt also zwischen $0^\circ$ und $90^\circ$.

Der Winkel zwischen den Ebenen ist genauso groß wie der Winkel zwischen ihren Normalenvektoren (oder dessen Nebenwinkel). Deshalb verwendet man die Formel für den Winkel zwischen Vektoren, aber mit Betrag im Zähler. So kommt immer der spitze Winkel heraus.

Die Normalenvektoren liest man direkt aus den Koordinatenformen ab.

Sonderfälle:

• $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$: Die Ebenen stehen senkrecht aufeinander, $\alpha = 90^\circ$.
• $\vec{n}_1$ ist ein Vielfaches von $\vec{n}_2$: Die Ebenen sind parallel oder identisch und schneiden sich nicht in einer Geraden.

Beispiele

$E_1\colon x_3 = 0$ und $E_2\colon x_2 + x_3 = 4$ mit $\vec{n}_1 = (0,\ 0,\ 1)$ und $\vec{n}_2 = (0,\ 1,\ 1)$:

$E_1\colon 2x_1 - x_2 + 2x_3 = -3$ und $E_2\colon x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 1$ mit $\vec{n}_1 = (2,\ -1,\ 2)$ und $\vec{n}_2 = (1,\ 2,\ 2)$:

Die Ebenen $x_1 + x_2 = 3$ und $x_1 - x_2 + 5x_3 = 0$ stehen senkrecht aufeinander, denn $(1,\ 1,\ 0) \cdot (1,\ -1,\ 5) = 1 - 1 + 0 = 0$.

Typische Fehler

• Den Betrag weglassen. Mit $-\vec{n}_2$ statt $\vec{n}_2$ erhält man im zweiten Beispiel $116{,}39^\circ$, den Nebenwinkel, obwohl es dieselbe Ebene ist.
• Spannvektoren statt Normalenvektoren verwenden. Die Spannvektoren zweier Ebenen sagen nichts direkt über deren Schnittwinkel.
• Sinus statt Kosinus verwenden. Der Sinus gehört zum Winkel zwischen Gerade und Ebene.