Spur und Determinante als Summe und Produkt der Eigenwerte

Studium

\operatorname{Spur}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + \ldots + \lambda_n, \qquad \det A = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdots \lambda_n

Voraussetzung: $A \in \mathbb{R}^{n \times n},$ $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{C}$ $alle Eigenwerte mit Vielfachheit$

$A$: quadratische n × n-Matrix
$\lambda_1, \ldots, \lambda_n$: Eigenwerte von A, nach algebraischer Vielfachheit wiederholt, eventuell komplex
$\operatorname{Spur}(A)$: Summe der Diagonaleinträge von A
$\det A$: Determinante von A

Die Summe aller Eigenwerte einer Matrix ist ihre Spur, das Produkt aller Eigenwerte ihre Determinante.

Erklärung

Das charakteristische Polynom einer $n \times n$ -Matrix zerfällt über $\mathbb{C}$ in Linearfaktoren:

\det(A - \lambda E) = (\lambda_1 - \lambda)(\lambda_2 - \lambda) \cdots (\lambda_n - \lambda).

Ein Koeffizientenvergleich liefert zwei Zusammenhänge. Setzt man $\lambda = 0$ ein, steht links $\det A$ und rechts das Produkt der Eigenwerte. Der Koeffizient von $\lambda^{n-1}$ ist links $(-1)^{n-1} \operatorname{Spur}(A)$ und rechts $(-1)^{n-1}(\lambda_1 + \ldots + \lambda_n)$ .

Wichtig dabei:

Jeder Eigenwert zählt so oft, wie seine algebraische Vielfachheit angibt.
Auch komplexe Eigenwerte zählen mit. Bei reellen Matrizen treten sie in konjugierten Paaren auf, Summe und Produkt bleiben reell.

Folgerungen:

$A$ ist genau dann invertierbar, wenn $0$ kein Eigenwert ist.
Für $2 \times 2$ -Matrizen sind die Eigenwerte die Lösungen von $\lambda^2 - \operatorname{Spur}(A)\,\lambda + \det A = 0$ .
Die Formeln eignen sich gut als Kontrolle nach einer Eigenwertberechnung.

Beispiele

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ hat das charakteristische Polynom $(1 - \lambda)(3 - \lambda)^2$ , also die Eigenwerte $1$ , $3$ , $3$ . Kontrolle: $\operatorname{Spur}(A) = 2 + 2 + 3 = 7 = 1 + 3 + 3$ und $\det A = 3 \cdot (4 - 1) = 9 = 1 \cdot 3 \cdot 3$ .

Die Drehmatrix $\begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix}$ hat für $\varphi \notin \pi\mathbb{Z}$ keine reellen Eigenwerte, sondern $\cos\varphi \pm \mathrm{i}\sin\varphi$ . Ihre Summe ist $2\cos\varphi$ (die Spur), ihr Produkt $\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1$ (die Determinante).

Eine $2 \times 2$ -Matrix mit Spur $6$ , Determinante $8$ und einem bekannten Eigenwert $2$ hat als zweiten Eigenwert $6 - 2 = 4$ . Probe: $2 \cdot 4 = 8$ .

Typische Fehler

Mehrfache Eigenwerte nur einmal zählen. Im ersten Beispiel ergäbe $1 + 3 = 4$ nicht die Spur $7$ .
Komplexe Eigenwerte weglassen und dann einen Widerspruch zur Spur finden.
Die Diagonaleinträge für die Eigenwerte halten. Das stimmt nur bei Dreiecks- und Diagonalmatrizen; die Summe stimmt aber immer.

Spur und Determinante als Summe und Produkt der Eigenwerte