Gram-Schmidt-Verfahren

Studium

\vec u_k = \vec v_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{\langle \vec v_k, \vec u_j \rangle}{\langle \vec u_j, \vec u_j \rangle}\, \vec u_j, \qquad \vec w_k = \frac{\vec u_k}{\lVert \vec u_k \rVert}

Voraussetzung: $\vec v_1, \ldots, \vec v_n$ $linear unabhängig$

$\vec v_1, \ldots, \vec v_n$: gegebene linear unabhängige Vektoren
$\vec u_k$: k-ter orthogonalisierter Vektor, beginnend mit u₁ = v₁
$\vec w_k$: k-ter normierter Vektor der Orthonormalbasis
$\langle \cdot, \cdot \rangle$: Skalarprodukt, im Rⁿ das Standardskalarprodukt
$\lVert \vec u_k \rVert$: Länge (Norm) von u_k

Man zieht von jedem Vektor seine Projektionen auf die bereits orthogonalisierten Vektoren ab und normiert danach.

Erklärung

Das Gram-Schmidt-Verfahren macht aus linear unabhängigen Vektoren $\vec v_1, \ldots, \vec v_n$ ein Orthogonalsystem $\vec u_1, \ldots, \vec u_n$ , das denselben Raum aufspannt. Normiert man anschließend, erhält man eine Orthonormalbasis $\vec w_1, \ldots, \vec w_n$ .

Schritte:

$\vec u_1 = \vec v_1$ .
Für $k = 2, \ldots, n$ : Von $\vec v_k$ werden die orthogonalen Projektionen auf alle bisherigen $\vec u_j$ abgezogen. Was übrig bleibt, steht senkrecht auf allen $\vec u_1, \ldots, \vec u_{k-1}$ .
Jeden Vektor durch seine Länge teilen: $\vec w_k = \vec u_k / \lVert \vec u_k \rVert$ .

Für jedes $k$ spannen $\vec u_1, \ldots, \vec u_k$ denselben Raum auf wie $\vec v_1, \ldots, \vec v_k$ . Sind die $\vec v_k$ linear abhängig, entsteht irgendwann $\vec u_k = \vec 0$ , und die Division im Normierungsschritt bricht ab.

Man darf jedes $\vec u_k$ vor dem nächsten Schritt mit einer Zahl $\neq 0$ multiplizieren, um Brüche zu vermeiden. Die Richtung, und damit das Ergebnis nach dem Normieren, bleibt bis aufs Vorzeichen gleich. Das Verfahren funktioniert mit jedem Skalarprodukt, z.B. auch mit $\langle f, g \rangle = \int_{-1}^{1} f(x) g(x)\,dx$ für Polynome.

Beispiele

Gegeben $\vec v_1 = (1,\ 1,\ 0)$ , $\vec v_2 = (1,\ 0,\ 1)$ , $\vec v_3 = (0,\ 1,\ 1)$ .

$\vec u_1 = (1,\ 1,\ 0)$ , $\langle \vec u_1, \vec u_1 \rangle = 2$ .

$\vec u_2 = \vec v_2 - \frac{1}{2}\vec u_1 = \left(\tfrac12,\ -\tfrac12,\ 1\right)$ , $\langle \vec u_2, \vec u_2 \rangle = \frac{3}{2}$ .

$\vec u_3 = \vec v_3 - \frac{1}{2}\vec u_1 - \frac{1/2}{3/2}\vec u_2 = \vec v_3 - \frac12 \vec u_1 - \frac13 \vec u_2 = \left(-\tfrac23,\ \tfrac23,\ \tfrac23\right)$ .

Alle drei Skalarprodukte $\langle \vec u_j, \vec u_k \rangle$ mit $j \neq k$ sind $0$ . Normiert (mit den Vielfachen $(1,\ -1,\ 2)$ und $(-1,\ 1,\ 1)$ gerechnet):

\vec w_1 = \tfrac{1}{\sqrt2}(1,\ 1,\ 0), \quad \vec w_2 = \tfrac{1}{\sqrt6}(1,\ -1,\ 2), \quad \vec w_3 = \tfrac{1}{\sqrt3}(-1,\ 1,\ 1).

Typische Fehler

Von $\vec v_k$ die Projektionen auf die ursprünglichen $\vec v_j$ statt auf die bereits orthogonalisierten $\vec u_j$ abziehen.
Im Nenner $\langle \vec v_k, \vec v_k \rangle$ statt $\langle \vec u_j, \vec u_j \rangle$ verwenden.
Den Nenner weglassen, obwohl mit den nicht normierten $\vec u_j$ gerechnet wird. Ohne Nenner geht es nur mit den normierten $\vec w_j$ : Dann lautet der Abzug $\langle \vec v_k, \vec w_j \rangle\, \vec w_j$ , weil $\langle \vec w_j, \vec w_j \rangle = 1$ .
Das Normieren am Ende vergessen, wenn eine Orthonormalbasis verlangt ist.

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