Kreuzprodukt

Erklärung

Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt) gibt es nur für Vektoren im Raum. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor mit drei Eigenschaften:

• Er steht senkrecht auf $\vec{a}$ und auf $\vec{b}$. Deshalb nutzt man ihn, um den Normalenvektor einer Ebene zu bestimmen.
• Sein Betrag ist der Flächeninhalt des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen.
• $\vec{a}$, $\vec{b}$ und $\vec{a} \times \vec{b}$ bilden ein Rechtssystem (Rechte-Hand-Regel).

Die Reihenfolge ist wichtig: $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$. Sind $\vec{a}$ und $\vec{b}$ parallel, ist das Kreuzprodukt der Nullvektor.

Merkhilfe: Für die erste Koordinate deckt man die erste Zeile ab und rechnet „über Kreuz“ $a_2 b_3 - a_3 b_2$. Für die zweite Koordinate beginnt man mit $a_3$, für die dritte mit $a_1$; die Indizes laufen zyklisch weiter.

Beispiele

Für $\vec{a} = (1,\ 2,\ 3)$ und $\vec{b} = (4,\ 5,\ 6)$:

Probe mit dem Skalarprodukt: $(-3) \cdot 1 + 6 \cdot 2 + (-3) \cdot 3 = 0$ und $(-3) \cdot 4 + 6 \cdot 5 + (-3) \cdot 6 = 0$. Das Ergebnis steht also auf beiden Vektoren senkrecht.

Typische Fehler

• Das Vorzeichen in der mittleren Koordinate falsch: Sie lautet $a_3 b_1 - a_1 b_3$, nicht $a_1 b_3 - a_3 b_1$.
• Die Reihenfolge der Faktoren vertauschen und das Vorzeichen nicht anpassen.
• Das Kreuzprodukt für ebene Vektoren (2D) verwenden. Dort gibt es kein Kreuzprodukt; man kann die Vektoren aber mit der dritten Koordinate $0$ in den Raum einbetten.
• Keine Probe machen: Das Skalarprodukt mit $\vec{a}$ und mit $\vec{b}$ muss jeweils $0$ ergeben.