Spatprodukt

Erklärung

Drei Vektoren, die von einer Ecke ausgehen, spannen einen Spat auf (auch Parallelepiped), einen „schiefen Quader“ mit Parallelogrammen als Seitenflächen. Sein Volumen ist der Betrag des Spatprodukts.

Die Formel ist „Grundfläche mal Höhe“: $|\vec{a} \times \vec{b}|$ ist die Fläche des Grundparallelogramms, und das Skalarprodukt mit $\vec{c}$ misst, wie weit $\vec{c}$ senkrecht über diese Fläche hinausragt.

Weitere Eigenschaften:

• Das Spatprodukt ist gleich der Determinante der $3 \times 3$-Matrix mit $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ als Zeilen.
• Ist es $0$, liegen die drei Vektoren in einer Ebene (sie sind linear abhängig). Damit prüft man, ob vier Punkte in einer Ebene liegen.
• Eine dreiseitige Pyramide (Tetraeder), die von denselben Vektoren aufgespannt wird, hat das Volumen $V = \frac{1}{6} \left|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}\right|$.

Beispiele

Für $\vec{a} = (2,\ 0,\ 0)$, $\vec{b} = (1,\ 3,\ 0)$ und $\vec{c} = (0,\ 1,\ 4)$ ist $\vec{a} \times \vec{b} = (0,\ 0,\ 6)$, also

Die dreiseitige Pyramide mit denselben Kantenvektoren hat das Volumen $\frac{24}{6} = 4$. Probe mit „ein Drittel Grundfläche mal Höhe“: Das Grunddreieck hat die Fläche $\frac{1}{2} \cdot 6 = 3$, die Höhe ist $4$, also $\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 4 = 4$.

Typische Fehler

• Die Betragsstriche weglassen. Das Spatprodukt kann negativ sein, ein Volumen nicht.
• Beim Tetraeder durch $3$ statt durch $6$ teilen. Der Faktor $\frac{1}{6}$ setzt sich aus $\frac{1}{2}$ (Dreieck statt Parallelogramm) und $\frac{1}{3}$ (Pyramide statt Prisma) zusammen.
• Die Reihenfolge falsch klammern: $\vec{a} \times (\vec{b} \cdot \vec{c})$ ist nicht definiert, weil $\vec{b} \cdot \vec{c}$ eine Zahl ist.