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Kugelgleichung

Kugelgleichung

Oberstufe
(x1−m1)2+(x2−m2)2+(x3−m3)2=r2(x_1 - m_1)^2 + (x_2 - m_2)^2 + (x_3 - m_3)^2 = r^2

Voraussetzung: r>0r > 0

x1,x2,x3x_1, x_2, x_3
Koordinaten eines Punkts auf der Kugeloberfläche
M(m1∣m2∣m3)M(m_1 \mid m_2 \mid m_3)
Mittelpunkt der Kugel
rr
Radius der Kugel

Eine Kugel besteht aus allen Punkten, die vom Mittelpunkt M genau den Abstand r haben.

Erklärung

Eine Kugel ist die Menge aller Punkte XX, die vom Mittelpunkt MM den festen Abstand rr haben. Mit der Abstandsformel im Raum und Quadrieren ergibt sich die Kugelgleichung. In Vektorform lautet sie

∣x⃗−m⃗∣=roder(x⃗−m⃗)⋅(x⃗−m⃗)=r2|\vec{x} - \vec{m}| = r \quad\text{oder}\quad (\vec{x} - \vec{m}) \cdot (\vec{x} - \vec{m}) = r^2

Sie ist das räumliche Gegenstück zur Kreisgleichung. Setzt man einen Punkt ein, gilt:

  • linke Seite =r2= r^2: Der Punkt liegt auf der Kugel.
  • linke Seite <r2< r^2: Der Punkt liegt innerhalb.
  • linke Seite >r2> r^2: Der Punkt liegt außerhalb.

Ist die Gleichung ausmultipliziert gegeben, findet man Mittelpunkt und Radius mit quadratischer Ergänzung für jede Koordinate.

Beispiele

Kugel mit M(1∣−2∣3)M(1 \mid -2 \mid 3) und r=4r = 4:

(x1−1)2+(x2+2)2+(x3−3)2=16(x_1 - 1)^2 + (x_2 + 2)^2 + (x_3 - 3)^2 = 16
  • P(1∣2∣3)P(1 \mid 2 \mid 3): 0+16+0=160 + 16 + 0 = 16, PP liegt auf der Kugel.
  • Q(3∣0∣4)Q(3 \mid 0 \mid 4): 4+4+1=9<164 + 4 + 1 = 9 < 16, QQ liegt innerhalb.
  • R(5∣2∣3)R(5 \mid 2 \mid 3): 16+16+0=32>1616 + 16 + 0 = 32 > 16, RR liegt außerhalb.

Umgekehrt: Gegeben ist x12+x22+x32−2x1+4x2−6x3−2=0x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 2x_1 + 4x_2 - 6x_3 - 2 = 0. Quadratische Ergänzung:

(x1−1)2−1+(x2+2)2−4+(x3−3)2−9−2=0(x_1 - 1)^2 - 1 + (x_2 + 2)^2 - 4 + (x_3 - 3)^2 - 9 - 2 = 0

Also (x1−1)2+(x2+2)2+(x3−3)2=2+1+4+9=16(x_1 - 1)^2 + (x_2 + 2)^2 + (x_3 - 3)^2 = 2 + 1 + 4 + 9 = 16, das ist dieselbe Kugel mit M(1∣−2∣3)M(1 \mid -2 \mid 3) und r=4r = 4.

Steht rechts nach der Ergänzung null, besteht die Lösungsmenge nur aus dem Mittelpunkt. Steht dort eine negative Zahl, gibt es keine Lösung, also keine Kugel.

Typische Fehler

  • Vorzeichen des Mittelpunkts falsch ablesen: (x2+2)2(x_2 + 2)^2 gehört zu m2=−2m_2 = -2, nicht +2+2.
  • rr statt r2r^2 auf die rechte Seite schreiben. Bei r=4r = 4 steht dort 1616.
  • Bei der quadratischen Ergänzung die abgezogenen Quadrate vergessen, sodass der Radius zu klein herauskommt.

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