Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung

Studium

f(\vec b_j) = \sum_{i=1}^{m} a_{ij}\, \vec c_i \quad (j = 1, \ldots, n), \qquad M_C^B(f) = (a_{ij})

Voraussetzung: $f\colon V \to W$ $linear$ $,$ $B = (\vec b_1, \ldots, \vec b_n)$ $Basis von$ $V,$ $C = (\vec c_1, \ldots, \vec c_m)$ $Basis von$ $W$

$f$: lineare Abbildung von V nach W
$B$: Basis des Definitionsraums V mit n Vektoren
$C$: Basis des Zielraums W mit m Vektoren
$a_{ij}$: i-te Koordinate von f(b_j) bezüglich C
$M_C^B(f)$: Darstellungsmatrix, eine m × n-Matrix

Die j-te Spalte der Darstellungsmatrix enthält die Koordinaten des Bildes des j-ten Basisvektors.

Erklärung

Eine lineare Abbildung $f\colon V \to W$ ist durch die Bilder der Basisvektoren von $V$ vollständig festgelegt. Die Darstellungsmatrix $M_C^B(f)$ speichert genau diese Information:

Die $j$ -te Spalte ist der Koordinatenvektor von $f(\vec b_j)$ bezüglich der Basis $C$ .

Damit gilt für jeden Vektor $\vec v \in V$ :

[f(\vec v)]_C = M_C^B(f) \cdot [\vec v]_B.

Die Matrix hat so viele Spalten, wie $V$ Dimensionen hat ( $n$ ), und so viele Zeilen wie $W$ ( $m$ ). Im häufigsten Fall $V = \mathbb{R}^n$ , $W = \mathbb{R}^m$ mit den Standardbasen ist die $j$ -te Spalte einfach $f(\vec e_j)$ .

Weitere Zusammenhänge:

Verkettung: Der Hintereinanderausführung $g \circ f$ entspricht das Matrizenprodukt $M(g) \cdot M(f)$ , in dieser Reihenfolge.
Andere Basen: Wechselt man die Basen, ändert sich die Matrix nach den Regeln des Basiswechsels, die Abbildung bleibt dieselbe.
Rang und Kern der Matrix entsprechen Bild und Kern von $f$ .

Beispiele

$f\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ , $f(x, y) = (2x + y,\ x - 3y,\ y)$ . Mit $f(\vec e_1) = (2,\ 1,\ 0)$ und $f(\vec e_2) = (1,\ -3,\ 1)$ ist

M(f) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Probe: $M(f) \cdot (4,\ -1) = (7,\ 7,\ -1) = f(4, -1)$ .

Die Ableitung $D(p) = p'$ auf den Polynomen vom Grad höchstens $2$ mit der Basis $(1,\ x,\ x^2)$ : $D(1) = 0$ , $D(x) = 1$ , $D(x^2) = 2x$ . Die Koordinaten dieser Bilder sind $(0,\ 0,\ 0)$ , $(1,\ 0,\ 0)$ , $(0,\ 2,\ 0)$ , also

M(D) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Für $p = 3 + 5x + 4x^2$ mit Koordinaten $(3,\ 5,\ 4)$ liefert die Matrix $(5,\ 8,\ 0)$ , also $p' = 5 + 8x$ .

Die Spiegelung an der Geraden $y = x$ vertauscht $\vec e_1$ und $\vec e_2$ , ihre Matrix ist $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

Typische Fehler

Die Bilder der Basisvektoren als Zeilen statt als Spalten eintragen. Dann entsteht die Transponierte.
Bei einer Basis $C \neq$ Standardbasis die Bilder $f(\vec b_j)$ direkt eintragen, statt vorher ihre Koordinaten bezüglich $C$ zu bestimmen.
Bei der Verkettung $g \circ f$ das Produkt $M(f) \cdot M(g)$ bilden. Die zuerst ausgeführte Abbildung steht rechts.

Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung