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Skalarprodukt

Skalarprodukt

Oberstufe
a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3
a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b}
zwei Vektoren im Raum
a1,a2,a3a_1, a_2, a_3
Koordinaten von a
b1,b2,b3b_1, b_2, b_3
Koordinaten von b

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte ihrer passenden Koordinaten, also eine Zahl.

Erklärung

Das Skalarprodukt verknüpft zwei Vektoren zu einer Zahl (einem Skalar). Man multipliziert die Koordinaten, die an derselben Stelle stehen, und addiert die Ergebnisse. In der Ebene fällt der dritte Summand weg.

Geometrisch gilt

a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos⁡φ,\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\varphi,

wobei φ\varphi der Winkel zwischen den Vektoren ist. Daraus folgen die wichtigsten Anwendungen:

  • Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen.
  • Orthogonalität prüfen: Das Skalarprodukt ist genau dann 00, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen (oder einer der Nullvektor ist).
  • Länge berechnen: a⃗⋅a⃗=∣a⃗∣2\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2.

Das Vorzeichen verrät die Lage: positiv bei spitzem Winkel, negativ bei stumpfem Winkel.

Beispiele

(123)⋅(4−56)=1⋅4+2⋅(−5)+3⋅6=4−10+18=12\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 6 \end{pmatrix} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-5) + 3 \cdot 6 = 4 - 10 + 18 = 12

Ein Vektor mit sich selbst: Für a⃗=(2, −1, 2)\vec{a} = (2,\ -1,\ 2) ist a⃗⋅a⃗=4+1+4=9\vec{a} \cdot \vec{a} = 4 + 1 + 4 = 9, also ∣a⃗∣=9=3|\vec{a}| = \sqrt{9} = 3.

In der Ebene: (34)⋅(−43)=−12+12=0\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix} = -12 + 12 = 0. Die beiden Vektoren stehen senkrecht aufeinander.

Typische Fehler

  • Als Ergebnis einen Vektor angeben. Das Skalarprodukt ist eine Zahl; der Vektor (4, −10, 18)(4,\ -10,\ 18) ist kein Ergebnis.
  • Skalarprodukt und Kreuzprodukt verwechseln. Das Kreuzprodukt liefert einen Vektor und gibt es nur im Raum.
  • Vorzeichen vergessen: 2⋅(−5)=−102 \cdot (-5) = -10, nicht 1010.

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