Lineare Unabhängigkeit

Studium

\lambda_1 \vec v_1 + \lambda_2 \vec v_2 + \ldots + \lambda_k \vec v_k = \vec 0 \;\Longrightarrow\; \lambda_1 = \lambda_2 = \ldots = \lambda_k = 0

Voraussetzung: $\vec v_1, \ldots, \vec v_k \in V,$ $\lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \mathbb{R}$

$\vec v_1, \ldots, \vec v_k$: Vektoren eines Vektorraums V
$\lambda_1, \ldots, \lambda_k$: reelle Koeffizienten
$\vec 0$: Nullvektor

Vektoren sind linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor nur mit lauter Nullkoeffizienten aus ihnen kombinieren lässt.

Erklärung

Vektoren $\vec v_1, \ldots, \vec v_k$ heißen linear unabhängig, wenn die einzige Linearkombination, die den Nullvektor ergibt, die triviale ist: alle Koeffizienten gleich $0$ . Gibt es dagegen Koeffizienten, die nicht alle $0$ sind und trotzdem $\vec 0$ ergeben, heißen die Vektoren linear abhängig. Dann lässt sich mindestens einer der Vektoren durch die anderen ausdrücken.

Praktische Kriterien im $\mathbb{R}^n$ :

Man schreibt die Vektoren als Spalten in eine Matrix $A$ . Sie sind genau dann linear unabhängig, wenn $\operatorname{rg}(A) = k$ .
Bei $k = n$ Vektoren (quadratische Matrix): linear unabhängig $\iff \det A \neq 0$ .
Mehr als $n$ Vektoren im $\mathbb{R}^n$ sind immer linear abhängig.
Eine Menge, die den Nullvektor enthält, ist immer linear abhängig.

Linear unabhängige Vektoren, die den ganzen Raum erzeugen, bilden eine Basis. Die Definition gilt in jedem Vektorraum, auch für Polynome oder Funktionen.

Beispiele

Die Vektoren $(1,\ 0,\ 1)$ , $(0,\ 1,\ 1)$ , $(1,\ 1,\ 0)$ als Spalten ergeben

\det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot (0 - 1) - 0 + 1 \cdot (0 - 1) = -2 \neq 0.

Sie sind linear unabhängig und bilden eine Basis des $\mathbb{R}^3$ .

Die Vektoren $(1,\ 2,\ 3)$ , $(4,\ 5,\ 6)$ , $(7,\ 8,\ 9)$ sind linear abhängig: $1 \cdot (1,\ 2,\ 3) - 2 \cdot (4,\ 5,\ 6) + 1 \cdot (7,\ 8,\ 9) = (0,\ 0,\ 0)$ . Passend dazu ist die Determinante der Spaltenmatrix $0$ .

Die Polynome $1$ , $x$ , $x^2$ sind linear unabhängig: Gilt $a + bx + cx^2 = 0$ für alle $x$ , dann liefern $x = 0$ , $x = 1$ und $x = -1$ ein System mit der Koeffizientenmatrix $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ . Ihre Determinante ist $2 \neq 0$ , also ist nur $a = b = c = 0$ möglich.

Typische Fehler

Nur prüfen, ob je zwei Vektoren Vielfache voneinander sind. Drei Vektoren können paarweise unabhängig und trotzdem linear abhängig sein, wie im zweiten Beispiel.
Die Implikation umdrehen: Dass $\lambda_i = 0$ für alle $i$ den Nullvektor ergibt, gilt immer. Gezeigt werden muss, dass nur diese Wahl ihn ergibt.
Das Determinantenkriterium auf $k \neq n$ Vektoren anwenden. Für zwei Vektoren im $\mathbb{R}^3$ gibt es keine Determinante, dort hilft der Rang.

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