Eigenwerte und charakteristisches Polynom

Studium

\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda E) = 0

Voraussetzung: $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$

$A$: quadratische Matrix
$E$: Einheitsmatrix derselben Größe (auch I geschrieben)
$\lambda$: Eigenwert von A, eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms
$\chi_A(\lambda)$: charakteristisches Polynom von A, ein Polynom vom Grad n in λ

Die Eigenwerte einer Matrix sind die Nullstellen ihres charakteristischen Polynoms det(A − λE).

Erklärung

Ein Eigenvektor einer quadratischen Matrix $A$ ist ein Vektor $\vec{v} \neq \vec{0}$ , den $A$ nur streckt oder staucht: $A\vec{v} = \lambda \vec{v}$ . Die Zahl $\lambda$ heißt Eigenwert.

Umgeformt lautet die Bedingung $(A - \lambda E)\vec{v} = \vec{0}$ . Dieses homogene System hat genau dann eine Lösung $\vec{v} \neq \vec{0}$ , wenn $A - \lambda E$ nicht invertierbar ist, also wenn $\det(A - \lambda E) = 0$ . Die linke Seite ist ein Polynom vom Grad $n$ in $\lambda$ , das charakteristische Polynom $\chi_A$ .

Vorgehen:

$\lambda$ von jedem Diagonaleintrag von $A$ abziehen.
Die Determinante berechnen und gleich $0$ setzen.
Die Nullstellen bestimmen: Das sind die Eigenwerte.
Für jeden Eigenwert das System $(A - \lambda E)\vec{v} = \vec{0}$ lösen: Die Lösungen $\vec{v} \neq \vec{0}$ sind die Eigenvektoren.

Für $2 \times 2$ -Matrizen gilt $\chi_A(\lambda) = \lambda^2 - \operatorname{Spur}(A)\,\lambda + \det A$ . Dabei ist die Spur $\operatorname{Spur}(A)$ die Summe der Diagonaleinträge. Allgemein ist die Summe der Eigenwerte die Spur, ihr Produkt die Determinante (mit Vielfachheit, über $\mathbb{C}$ gezählt). Eine reelle Matrix kann auch komplexe Eigenwerte haben, z.B. eine Drehmatrix.

Beispiele

Für $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ :

\det(A - \lambda E) = \begin{vmatrix} 4 - \lambda & 1 \\ 2 & 3 - \lambda \end{vmatrix} = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda - 2)(\lambda - 5)

Die Eigenwerte sind $\lambda_1 = 2$ und $\lambda_2 = 5$ . Kontrolle: $2 + 5 = 7 = \operatorname{Spur}(A)$ und $2 \cdot 5 = 10 = \det A$ .

Eigenvektor zu $\lambda_2 = 5$ : $(A - 5E)\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \vec{v} = \vec{0}$ liefert $v_1 = v_2$ , z.B. $\vec{v} = (1,\ 1)$ . Probe: $A\vec{v} = (5,\ 5) = 5\vec{v}$ .

Eigenvektor zu $\lambda_1 = 2$ : $(A - 2E)\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \vec{v} = \vec{0}$ liefert $v_2 = -2v_1$ , z.B. $\vec{v} = (1,\ -2)$ . Probe: $A\vec{v} = (2,\ -4) = 2\vec{v}$ .

Typische Fehler

$\lambda$ von allen Einträgen abziehen. Abgezogen wird nur auf der Diagonalen, denn $\lambda E$ hat außerhalb der Diagonalen Nullen.
Den Nullvektor als Eigenvektor angeben. Eigenvektoren sind per Definition vom Nullvektor verschieden.
$\det(A) - \lambda$ statt $\det(A - \lambda E)$ rechnen.
Erwarten, dass jede reelle Matrix reelle Eigenwerte hat. $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ hat das Polynom $\lambda^2 + 1$ und keine reellen Eigenwerte.

Eigenwerte und charakteristisches Polynom