Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme

Studium

A\vec x = \vec b \text{ lösbar} \iff \operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A \mid \vec b)

Voraussetzung: $A \in \mathbb{R}^{m \times n},$ $\vec b \in \mathbb{R}^{m}$

$A$: Koeffizientenmatrix mit m Gleichungen und n Unbekannten
$\vec b$: rechte Seite
$\vec x$: Vektor der n Unbekannten
$(A \mid \vec b)$: erweiterte Koeffizientenmatrix
$\operatorname{rg}$: Rang einer Matrix

Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn die erweiterte Matrix denselben Rang hat wie die Koeffizientenmatrix.

Erklärung

Der Satz von Kronecker-Capelli (Rangkriterium) entscheidet, ob $A\vec x = \vec b$ eine Lösung hat: genau dann, wenn das Anhängen der Spalte $\vec b$ den Rang nicht erhöht. Anders gesagt: $\vec b$ muss im Spaltenraum von $A$ liegen, also eine Linearkombination der Spalten sein.

Mit $r = \operatorname{rg}(A)$ und $n$ Unbekannten gilt:

Fall	Lösungsmenge
$\operatorname{rg}(A \mid \vec b) > r$	leer, keine Lösung
$\operatorname{rg}(A \mid \vec b) = r = n$	genau eine Lösung
$\operatorname{rg}(A \mid \vec b) = r < n$	unendlich viele Lösungen, $n - r$ freie Parameter

Struktur der Lösungsmenge: Ist $\vec x_p$ irgendeine Lösung (eine partikuläre Lösung), dann sind alle Lösungen

\vec x = \vec x_p + \vec x_h, \qquad \vec x_h \in \operatorname{Kern} A.

Die Lösungsmenge ist also eine verschobene Kopie des Kerns, ein affiner Raum der Dimension $n - r$ . Das homogene System $A\vec x = \vec 0$ ist immer lösbar (mit $\vec x = \vec 0$ ).

Für quadratisches $A$ gilt: $\det A \neq 0$ $\iff$ für jedes $\vec b$ genau eine Lösung.

In der Praxis bringt man $(A \mid \vec b)$ mit dem Gauß-Algorithmus auf Stufenform. Eine Zeile $(0 \ \cdots \ 0 \mid c)$ mit $c \neq 0$ bedeutet $\operatorname{rg}(A \mid \vec b) > \operatorname{rg}(A)$ .

Beispiele

(A \mid \vec b) = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 0 & 2 \\ 3 & 6 & 1 & 4 \end{array}\right) \;\longrightarrow\; \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)

Beide Ränge sind $2$ , das System ist lösbar mit $3 - 2 = 1$ freiem Parameter. Aus $-2x_3 = -2$ folgt $x_3 = 1$ , aus der ersten Zeile $x_1 + 2x_2 = 1$ . Mit $x_2 = t$ ist die Lösungsmenge $\{(1 - 2t,\ t,\ 1) : t \in \mathbb{R}\}$ , also $\vec x_p = (1,\ 0,\ 1)$ plus Vielfache des Kernvektors $(-2,\ 1,\ 0)$ .

Mit $\vec b = (2,\ 2,\ 5)$ entsteht in der letzten Zeile $(0 \ \ 0 \ \ 0 \mid 1)$ . Dann ist $\operatorname{rg}(A \mid \vec b) = 3 > 2 = \operatorname{rg}(A)$ , das System hat keine Lösung.

Das System $x + y = 5$ , $x - y = 1$ hat $\det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = -2 \neq 0$ , also $\operatorname{rg}(A) = 2 = n$ und genau eine Lösung: $(3,\ 2)$ .

Typische Fehler

Nur den Rang von $A$ bestimmen und die rechte Seite ignorieren. Erst der Vergleich mit $\operatorname{rg}(A \mid \vec b)$ entscheidet über die Lösbarkeit.
Die Zahl der freien Parameter als $m - r$ (Gleichungen minus Rang) statt $n - r$ (Unbekannte minus Rang) berechnen.
Aus „mehr Unbekannte als Gleichungen" auf unendlich viele Lösungen schließen. Das System kann trotzdem widersprüchlich sein, z.B. $x + y + z = 1$ , $x + y + z = 2$ .

Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme