Spur einer Matrix

Erklärung

Die Spur einer quadratischen Matrix ist die Summe der Einträge auf der Hauptdiagonalen. Sie ist nur für quadratische Matrizen definiert.

Eigenschaften:

• Linearität: $\operatorname{Spur}(A + B) = \operatorname{Spur}(A) + \operatorname{Spur}(B)$ und $\operatorname{Spur}(\lambda A) = \lambda \operatorname{Spur}(A)$.
• $\operatorname{Spur}(A^T) = \operatorname{Spur}(A)$.
• Vertauschung: $\operatorname{Spur}(AB) = \operatorname{Spur}(BA)$, sogar wenn $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ und $B \in \mathbb{R}^{n \times m}$ verschiedene Größen haben.
• Ähnlichkeitsinvarianz: $\operatorname{Spur}(S^{-1} A S) = \operatorname{Spur}(A)$ für invertierbares $S$. Die Spur hängt also nur von der linearen Abbildung ab, nicht von der Basis.
• Die Spur ist die Summe der Eigenwerte, mit Vielfachheit und über $\mathbb{C}$ gezählt.

Achtung: Bei drei oder mehr Faktoren darf man nur zyklisch vertauschen: $\operatorname{Spur}(ABC) = \operatorname{Spur}(BCA) = \operatorname{Spur}(CAB)$, aber im Allgemeinen nicht gleich $\operatorname{Spur}(ACB)$.

Beispiele

Für $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}$ und $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ ist $AB = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 5 & 13 \end{pmatrix}$ eine $2 \times 2$-Matrix und $BA = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 5 & 5 & 4 \\ 9 & 3 & 12 \end{pmatrix}$ eine $3 \times 3$-Matrix. Trotzdem stimmen die Spuren überein: $5 + 13 = 18 = 1 + 5 + 12$.

Die Matrix $\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ hat die Eigenwerte $2$ und $5$. Ihre Spur ist $4 + 3 = 7 = 2 + 5$.

Typische Fehler

• Alle Einträge statt nur der Diagonaleinträge addieren.
• $\operatorname{Spur}(AB) = \operatorname{Spur}(A) \cdot \operatorname{Spur}(B)$ annehmen. Die Spur ist additiv, aber nicht multiplikativ. Multiplikativ ist die Determinante.
• Bei drei Faktoren beliebig vertauschen. Erlaubt sind nur zyklische Vertauschungen.