Flächeninhalt eines Dreiecks mit Vektoren

Oberstufe

F = \frac{1}{2} \left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right|

$F$: Flächeninhalt des Dreiecks
$A, B, C$: Eckpunkte des Dreiecks im Raum
$\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$: Verbindungsvektoren von A zu den beiden anderen Ecken

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist der halbe Betrag des Kreuzprodukts zweier Seitenvektoren.

Erklärung

Zwei Seiten eines Dreiecks, die von derselben Ecke ausgehen, spannen ein Parallelogramm auf. Das Dreieck ist genau die Hälfte davon. Deshalb ist sein Flächeninhalt der halbe Betrag des Kreuzprodukts.

Vorgehen:

Zwei Verbindungsvektoren von einer gemeinsamen Ecke bilden, z.B. $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ .
Das Kreuzprodukt berechnen.
Den Betrag bilden und halbieren.

Welche Ecke man als Ausgangspunkt nimmt, ist egal. Ist das Kreuzprodukt der Nullvektor, liegen die drei Punkte auf einer Geraden, und es gibt kein echtes Dreieck.

Beispiele

Dreieck mit $A(1 \mid 0 \mid 2)$ , $B(3 \mid 2 \mid 2)$ , $C(1 \mid 4 \mid 5)$ . Es ist $\overrightarrow{AB} = (2,\ 2,\ 0)$ und $\overrightarrow{AC} = (0,\ 4,\ 3)$ :

\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 - 0 \cdot 4 \\ 0 \cdot 0 - 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 4 - 2 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -6 \\ 8 \end{pmatrix}

F = \frac{1}{2} \sqrt{36 + 36 + 64} = \frac{1}{2} \sqrt{136} \approx 5{,}83

Probe an einem rechtwinkligen Dreieck mit $A(0 \mid 0 \mid 0)$ , $B(4 \mid 0 \mid 0)$ , $C(0 \mid 3 \mid 0)$ : Das Kreuzprodukt ist $(0,\ 0,\ 12)$ , also $F = 6$ . Das stimmt mit $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ überein.

Typische Fehler

Den Faktor $\frac{1}{2}$ vergessen. Dann hat man die Fläche des Parallelogramms.
Die Längen der Seitenvektoren multiplizieren. $\frac{1}{2} \cdot |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|$ stimmt nur bei einem rechten Winkel in $A$ . Im ersten Beispiel käme $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{8} \cdot 5 \approx 7{,}07$ heraus statt $5{,}83$ .
Ortsvektoren der Punkte statt Verbindungsvektoren verwenden.

Flächeninhalt eines Dreiecks mit Vektoren