Mittelpunkt und Schwerpunkt mit Vektoren

Erklärung

Mit Ortsvektoren lassen sich besondere Punkte im Raum direkt berechnen, komponentenweise:

• Mittelpunkt $M$ der Strecke $AB$: Man geht von $A$ aus den halben Weg nach $B$, $\vec{m} = \vec{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$.
• Schwerpunkt $S$ des Dreiecks $ABC$: der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden. Er teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis $2 : 1$, von der Ecke aus gemessen.

Für die vier Ecken eines Tetraeders gilt entsprechend $\vec{s} = \frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d})$.

Die Formeln gelten in der Ebene und im Raum. In der Ebene hat jeder Vektor nur zwei Komponenten.

Beispiele

$A(1 \mid 2 \mid 3)$ und $B(5 \mid 0 \mid -1)$:

Mit $C(0 \mid 4 \mid 1)$ hat das Dreieck $ABC$ den Schwerpunkt

Kontrolle über die Seitenhalbierende: Die Mitte von $BC$ ist $(2{,}5 \mid 2 \mid 0)$. Zwei Drittel des Wegs von $A$ dorthin führen zu $(1 + \frac{2}{3} \cdot 1{,}5 \mid 2 \mid 3 + \frac{2}{3} \cdot (-3)) = (2 \mid 2 \mid 1)$.

Vierter Eckpunkt des Parallelogramms $ABCD$: $\vec{d} = \vec{a} + \overrightarrow{BC} = \vec{a} + \vec{c} - \vec{b}$, also $D(-4 \mid 6 \mid 5)$. Die Diagonalen halbieren sich, beide haben den Mittelpunkt $(0{,}5 \mid 3 \mid 2)$.

Typische Fehler

• Beim Mittelpunkt die Differenz statt der Summe halbieren. $\frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$ ist der halbe Verbindungsvektor, kein Ortsvektor.
• Beim Schwerpunkt durch $2$ statt durch $3$ teilen.
• Beim Parallelogramm die Reihenfolge der Ecken nicht beachten: Bei $ABCD$ liegen $A$ und $C$ gegenüber, also $\vec{d} = \vec{a} + \vec{c} - \vec{b}$.