Koordinatenform einer Ebene

Oberstufe

E\colon n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = d

Voraussetzung: $(n_1, n_2, n_3) \neq (0, 0, 0)$

$E$: Name der Ebene
$x_1, x_2, x_3$: Koordinaten eines beliebigen Punkts der Ebene
$n_1, n_2, n_3$: Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene
$d$: Konstante, d = n₁p₁ + n₂p₂ + n₃p₃ für einen Punkt P(p₁ | p₂ | p₃) der Ebene

Eine Ebene ist die Menge aller Punkte, deren Koordinaten eine lineare Gleichung erfüllen; die Koeffizienten bilden den Normalenvektor.

Erklärung

Die Koordinatenform ist die ausmultiplizierte Normalenform. Die Koeffizienten vor $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ sind die Koordinaten eines Normalenvektors $\vec{n}$ . Die rechte Seite $d$ erhält man, indem man einen Punkt der Ebene einsetzt.

Die Koordinatenform ist für viele Aufgaben am praktischsten:

Punktprobe: Koordinaten einsetzen und prüfen, ob die Gleichung stimmt.
Schnitt mit einer Geraden: die Geradengleichung zeilenweise einsetzen und nach dem Parameter auflösen.
Spurpunkte: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Man setzt zwei Koordinaten $0$ und löst nach der dritten auf.

Fehlt eine Variable (ihr Koeffizient ist $0$ ), ist die Ebene parallel zur entsprechenden Achse. Ist $d = 0$ , geht die Ebene durch den Ursprung.

Beispiele

Ebene durch $P(1 \mid 3 \mid -1)$ mit Normalenvektor $\vec{n} = (2,\ -1,\ 2)$ . Ansatz $2x_1 - x_2 + 2x_3 = d$ , $P$ einsetzen:

d = 2 \cdot 1 - 3 + 2 \cdot (-1) = -3 \quad\Rightarrow\quad E\colon 2x_1 - x_2 + 2x_3 = -3

Punktprobe: $Q(0 \mid 1 \mid -1)$ liefert $0 - 1 - 2 = -3$ , $Q$ liegt in $E$ . $R(1 \mid 1 \mid 1)$ liefert $2 - 1 + 2 = 3 \neq -3$ , $R$ liegt nicht in $E$ .

Spurpunkte der Ebene $3x_1 - 6x_2 + 5x_3 = 13$ :

S_1\left(\tfrac{13}{3} \mid 0 \mid 0\right), \quad S_2\left(0 \mid -\tfrac{13}{6} \mid 0\right), \quad S_3\left(0 \mid 0 \mid \tfrac{13}{5}\right)

Diese Ebene ist dieselbe wie in der Normalenform mit $\vec{n} = (3,\ -6,\ 5)$ durch $P(1 \mid 0 \mid 2)$ : $3 \cdot 1 - 0 + 5 \cdot 2 = 13$ .

Typische Fehler

Die Konstante $d$ mit falschem Vorzeichen übernehmen. Aus $2x_1 - x_2 + 2x_3 + 3 = 0$ wird $2x_1 - x_2 + 2x_3 = -3$ .
Ein Minuszeichen beim Normalenvektor übersehen: Bei $2x_1 - x_2 + 2x_3$ ist $n_2 = -1$ .
Bei Spurpunkten nur eine Koordinate $0$ setzen. Für einen Achsenschnittpunkt müssen zwei Koordinaten $0$ sein.

Koordinatenform einer Ebene