Funktionen

$d$

Abstand der beiden Punkte (Länge der Strecke)

$x_1, y_1$

Koordinaten des ersten Punkts P₁(x₁ | y₁)

$x_2, y_2$

Koordinaten des zweiten Punkts P₂(x₂ | y₂)

Berechnet den Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem mit dem Satz des Pythagoras.

Voraussetzung: $a \neq 0,$ $b \neq 0$

$a$

x-Achsenabschnitt, die Gerade schneidet die x-Achse in (a | 0)

$b$

y-Achsenabschnitt, die Gerade schneidet die y-Achse in (0 | b)

$x, y$

Koordinaten eines beliebigen Punkts auf der Geraden

Beschreibt eine Gerade über ihre beiden Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen (a | 0) und (0 | b).

Voraussetzung: $x \in D_f \Rightarrow -x \in D_f$

$f$

untersuchte Funktion

$x$

beliebige Stelle im Definitionsbereich

$D_f$

Definitionsbereich von f, muss symmetrisch zu 0 liegen

Ein Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f(−x) = f(x) für jedes x im Definitionsbereich gilt.

Voraussetzung: $a \neq 0,$ $b \neq 0$

$a$

Streckfaktor in y-Richtung, |a| ist die Amplitude

$b$

Streckfaktor in x-Richtung, bestimmt die Periode 2π/|b|

$c$

Verschiebung in x-Richtung (oft Phasenverschiebung genannt)

$d$

Verschiebung in y-Richtung, die Mittellinie y = d

$x$

Eingabewert im Bogenmaß

$f(x)$

Funktionswert an der Stelle x

Die allgemeine Sinusfunktion entsteht aus sin(x) durch Strecken und Verschieben; ihre Periode ist 2π/|b|.

Voraussetzung: $x \neq 0,$ $k \neq 0$

$k$

Proportionalitätsfaktor, das konstante Produkt x · f(x)

$x$

Eingabewert, darf nicht 0 sein

$f(x)$

zugeordneter Wert

Bei einer antiproportionalen Zuordnung ist das Produkt x · y immer gleich k; der Graph ist eine Hyperbel.

Voraussetzung: $a_n \neq 0,$ $b_m \neq 0$

$n$

Grad des Zählerpolynoms

$m$

Grad des Nennerpolynoms

$a_n$

Leitkoeffizient des Zählers (Faktor vor xⁿ)

$b_m$

Leitkoeffizient des Nenners (Faktor vor xᵐ)

$y$

Gleichung der waagerechten Asymptote

Das Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion für x → ±∞ hängt nur vom Zählergrad n und Nennergrad m ab.

Voraussetzung: $k > 0$

$f(t)$

Bestand zum Zeitpunkt t

$f(0)$

Anfangsbestand zum Zeitpunkt 0

$S$

Schranke (Sättigungswert), der sich der Bestand nähert

$k$

Wachstumskonstante, bestimmt, wie schnell sich f an S annähert

$t$

Zeit

$e$

Eulersche Zahl, e ≈ 2,71828

Beim beschränkten Wachstum nimmt der Abstand zur Schranke S exponentiell ab; der Bestand nähert sich S.

$x$

beliebige reelle Zahl

$|x|$

Betrag von x, sein Abstand von 0 auf dem Zahlenstrahl

Die Betragsfunktion ordnet jeder Zahl ihren Betrag zu; ihr Graph hat die Form eines V mit Spitze im Ursprung.

Voraussetzung: $a \neq 0,$ $b > 0,$ $b \neq 1$

$a$

Anfangswert, der Funktionswert an der Stelle 0

$b$

Basis bzw. Wachstumsfaktor

$x$

Eingabewert, steht im Exponenten

$f(x)$

Funktionswert an der Stelle x

Bei einer Exponentialfunktion wird der Funktionswert pro Schritt in x mit demselben Faktor b multipliziert.

Voraussetzung: $0 < p < 100$

$N(t)$

Bestand nach t Zeitschritten

$N_0$

Anfangsbestand zum Zeitpunkt t = 0

$p$

Abnahme in Prozent pro Zeitschritt (positiv angegeben)

$t$

Anzahl der Zeitschritte

$1 - \frac{p}{100}$

Abnahmefaktor, liegt zwischen 0 und 1

Nimmt ein Bestand pro Zeitschritt um p % ab, bleibt nach t Schritten N₀ · (1 − p/100)ᵗ übrig.

Voraussetzung: $p > -100$

$N(t)$

Bestand nach t Zeitschritten

$N_0$

Anfangsbestand zum Zeitpunkt t = 0

$p$

prozentuale Änderung pro Zeitschritt (bei Abnahme negativ)

$t$

Anzahl der Zeitschritte (z.B. Stunden oder Jahre)

Wächst oder schrumpft ein Bestand pro Schritt um p %, ist er nach t Schritten N₀ · (1 + p/100)ᵗ.

Voraussetzung: $n \in \mathbb{N}_0,$ $a_0, \ldots, a_n \in \mathbb{R},$ $a_n \neq 0$

$n$

Grad der Funktion, der höchste vorkommende Exponent

$a_n$

Leitkoeffizient, der Faktor vor der höchsten Potenz

$a_{n-1}, \ldots, a_1$

weitere Koeffizienten, dürfen auch 0 sein

$a_0$

Absolutglied, der y-Achsenabschnitt

$x$

Eingabewert (Stelle)

$f(x)$

Funktionswert an der Stelle x

Eine ganzrationale Funktion ist eine Summe von Potenzen von x mit natürlichen Exponenten und festen Koeffizienten.

Voraussetzung: $T_H > 0$

$N(t)$

noch vorhandene Menge zum Zeitpunkt t

$N_0$

Anfangsmenge zum Zeitpunkt t = 0

$t$

vergangene Zeit

$T_H$

Halbwertszeit, in derselben Einheit wie t

Nach jeder Halbwertszeit T_H ist von einer exponentiell abnehmenden Menge nur noch die Hälfte übrig.

$m$

Steigung der Geraden

$b$

y-Achsenabschnitt, also der Funktionswert an der Stelle 0

$x$

Eingabewert (Stelle)

$f(x)$

Funktionswert an der Stelle x

Eine lineare Funktion hat eine Gerade als Graphen, festgelegt durch die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b.

Voraussetzung: $x > 0,$ $b > 0,$ $b \neq 1$

$b$

Basis des Logarithmus

$x$

Eingabewert, muss positiv sein

$f(x)$

Exponent, mit dem man b potenzieren muss, um x zu erhalten

Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion b^x und nur für positive x definiert.

Voraussetzung: $S > 0,$ $0 < f(0) < S,$ $k > 0$

$f(t)$

Bestand zum Zeitpunkt t

$f(0)$

Anfangsbestand zum Zeitpunkt 0

$S$

Schranke (Sättigungswert, Kapazität)

$k$

Wachstumskonstante aus f'(t) = k · f(t) · (S − f(t))

$t$

Zeit

$e$

Eulersche Zahl, e ≈ 2,71828

Logistisches Wachstum beginnt fast exponentiell und flacht dann zur Schranke S hin ab; der Graph ist eine S-Kurve.

$M$

Mittelpunkt der Strecke

$x_1, y_1$

Koordinaten des ersten Endpunkts A(x₁ | y₁)

$x_2, y_2$

Koordinaten des zweiten Endpunkts B(x₂ | y₂)

Die Koordinaten des Mittelpunkts einer Strecke sind die Mittelwerte der Koordinaten ihrer Endpunkte.

$e$

Eulersche Zahl, e ≈ 2,71828

$x$

Eingabewert, steht im Exponenten

$f(x)$

Funktionswert an der Stelle x

Die e-Funktion ist die Exponentialfunktion zur Basis e ≈ 2,718; sie ist ihre eigene Ableitung.

$p$

Koeffizient vor x

$q$

konstantes Glied, zugleich der y-Achsenabschnitt

$x$

beliebige reelle Zahl

Eine Parabel mit dem Faktor 1 vor x² hat die Form x² + px + q; ihr Graph ist eine verschobene Normalparabel.

Voraussetzung: $m \neq 0$

$x_0$

Nullstelle, die Stelle, an der der Graph die x-Achse schneidet

$m$

Steigung der Geraden f(x) = mx + b

$b$

y-Achsenabschnitt der Geraden

Die Gerade f(x) = mx + b schneidet die x-Achse an der Stelle x₀ = −b/m, sofern die Steigung nicht 0 ist.

Voraussetzung: beide Geraden nicht senkrecht

$m_1$

Steigung der ersten Geraden

$m_2$

Steigung der zweiten Geraden

Zwei Geraden mit Steigung stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen −1 ist.

Voraussetzung: $u(x_0) \neq 0,$ $v(x_0) \neq 0,$ $l \ge 1$

$x_0$

Nullstelle des Nenners, also eine Definitionslücke

$k$

Vielfachheit von x₀ als Nullstelle des Zählers (k = 0, wenn der Zähler dort nicht null ist)

$l$

Vielfachheit von x₀ als Nullstelle des Nenners

$u(x), v(x)$

die restlichen Faktoren von Zähler und Nenner

Eine Nennernullstelle ist eine hebbare Lücke, wenn sie sich vollständig wegkürzen lässt, sonst eine Polstelle.

Voraussetzung: $a \neq 0,$ $n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\},$ $x \neq 0$ für $n < 0$

$a$

Streckfaktor; bei negativem a ist der Graph an der x-Achse gespiegelt

$n$

ganzzahliger Exponent, bestimmt die Form des Graphen

$x$

Eingabewert (Stelle), steht in der Basis

$f(x)$

Funktionswert an der Stelle x

Bei einer Potenzfunktion steht x in der Basis und ein fester ganzzahliger Exponent n darüber.

$m$

Steigung der Geraden

$x_1, y_1$

Koordinaten eines bekannten Punkts P(x₁ | y₁) auf der Geraden

$x, y$

Koordinaten eines beliebigen Punkts auf der Geraden

Stellt die Gleichung einer Geraden auf, wenn ihre Steigung m und ein Punkt P(x₁ | y₁) auf ihr bekannt sind.

Voraussetzung: $x \in D_f \Rightarrow -x \in D_f$

$f$

untersuchte Funktion

$x$

beliebige Stelle im Definitionsbereich

$D_f$

Definitionsbereich von f, muss symmetrisch zu 0 liegen

Ein Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f(−x) = −f(x) für jedes x im Definitionsbereich gilt.

Voraussetzung: $a \neq 0$

$a$

Leitkoeffizient, bestimmt Öffnung und Form der Parabel

$b$

Koeffizient vor x; legt zusammen mit a die x-Koordinate des Scheitelpunkts fest

$c$

Absolutglied, der y-Achsenabschnitt

$x$

Eingabewert (Stelle)

$f(x)$

Funktionswert an der Stelle x

Eine quadratische Funktion hat eine Parabel als Graphen; a bestimmt die Öffnung, c den y-Achsenabschnitt.

Voraussetzung: $a \neq 0$

$x_S, y_S$

Koordinaten des Scheitelpunkts S(x_S | y_S)

$a$

Koeffizient vor x² in f(x) = ax² + bx + c

$b$

Koeffizient vor x in f(x) = ax² + bx + c

$f$

die quadratische Funktion f(x) = ax² + bx + c

Der Scheitelpunkt der Parabel f(x) = ax² + bx + c liegt bei x = −b/(2a); den y-Wert erhält man durch Einsetzen.

Voraussetzung: $a \neq 0$

$a$

Streckfaktor, bestimmt Öffnung und Form der Parabel

$d$

x-Koordinate des Scheitelpunkts (Verschiebung nach rechts)

$e$

y-Koordinate des Scheitelpunkts (Verschiebung nach oben)

$S(d \mid e)$

Scheitelpunkt der Parabel

In der Scheitelpunktform f(x) = a(x − d)² + e liest man den Scheitelpunkt S(d | e) direkt ab.

Voraussetzung: $m_1 \neq m_2$

$m_1, b_1$

Steigung und y-Achsenabschnitt der ersten Geraden y = m₁x + b₁

$m_2, b_2$

Steigung und y-Achsenabschnitt der zweiten Geraden y = m₂x + b₂

$x_S, y_S$

Koordinaten des Schnittpunkts S

Zwei Geraden mit verschiedenen Steigungen schneiden sich in genau einem Punkt; man findet ihn durch Gleichsetzen.

Voraussetzung: $m_1 \neq m_2,$ $m_1 m_2 \neq -1$

$\gamma$

Schnittwinkel der beiden Geraden, zwischen 0° und 90°

$m_1$

Steigung der ersten Geraden

$m_2$

Steigung der zweiten Geraden

Der Schnittwinkel zweier Geraden folgt aus ihren Steigungen; er ist immer der spitze Winkel zwischen ihnen.

Voraussetzung: $x_1 \neq x_2$

$m$

Steigung der Geraden durch beide Punkte

$x_1, y_1$

Koordinaten des ersten Punkts P₁(x₁ | y₁)

$x_2, y_2$

Koordinaten des zweiten Punkts P₂(x₂ | y₂)

Die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte ist der Höhenunterschied geteilt durch den Unterschied in x-Richtung.

Voraussetzung: $-90^\circ < \alpha < 90^\circ$

$\alpha$

Steigungswinkel zwischen Gerade und positiver x-Achse

$m$

Steigung der Geraden

Der Tangens des Steigungswinkels einer Geraden ist ihre Steigung m; umgekehrt ist α = arctan(m).

Voraussetzung: $f$ umkehrbar, d.h. jeder Funktionswert wird nur einmal angenommen

$f$

umkehrbare Ausgangsfunktion

$f^{-1}$

Umkehrfunktion von f

$x$

Stelle im Definitionsbereich von f

$y$

Funktionswert von f, Stelle im Definitionsbereich von f⁻¹

Die Umkehrfunktion f⁻¹ macht f rückgängig; ihr Graph ist der an der Geraden y = x gespiegelte Graph von f.

Voraussetzung: $q > 1$

$T_D$

Verdopplungszeit, gemessen in Zeitschritten

$q$

Wachstumsfaktor pro Zeitschritt, q = 1 + p/100

$\ln$

natürlicher Logarithmus (jede andere Basis liefert dasselbe Ergebnis)

Die Verdopplungszeit ist die feste Zeit, nach der sich ein exponentiell wachsender Bestand jeweils verdoppelt.

Voraussetzung: $a \neq 0,$ $b \neq 0$

$f$

Ausgangsfunktion

$g$

transformierte Funktion

$a$

Streckfaktor in y-Richtung; a < 0 spiegelt zusätzlich an der x-Achse

$b$

Faktor in x-Richtung; der Graph wird mit 1/b gestreckt, b < 0 spiegelt an der y-Achse

$c$

Verschiebung in x-Richtung (c > 0 nach rechts)

$d$

Verschiebung in y-Richtung (d > 0 nach oben)

Mit a, b, c und d wird der Graph von f gestreckt, gespiegelt und verschoben; c verschiebt nach rechts, d nach oben.

Voraussetzung: $x \ge 0$

$x$

nicht negative reelle Zahl

$\sqrt{x}$

die nicht negative Zahl, deren Quadrat x ist

Die Wurzelfunktion ordnet jeder Zahl x ≥ 0 ihre Quadratwurzel zu und ist die Umkehrung von x² für x ≥ 0.

$K_n$

Kapital nach n Jahren

$K_0$

Anfangskapital

$p$

Zinssatz in Prozent pro Jahr

$n$

Anzahl der Jahre (Verzinsungszeiträume)

Werden Zinsen jedes Jahr mitverzinst, wächst ein Kapital K₀ in n Jahren auf K₀ · (1 + p/100)ⁿ.

Voraussetzung: $x_1 \neq x_2$

$x_1, y_1$

Koordinaten des ersten Punkts P₁(x₁ | y₁)

$x_2, y_2$

Koordinaten des zweiten Punkts P₂(x₂ | y₂)

$x, y$

Koordinaten eines beliebigen Punkts auf der Geraden

Stellt die Gleichung der Geraden durch zwei gegebene Punkte P₁ und P₂ in einem Schritt auf.