Nullstelle einer linearen Funktion

Mittelstufe

x_0 = -\frac{b}{m}

Voraussetzung: $m \neq 0$

$x_0$: Nullstelle, die Stelle, an der der Graph die x-Achse schneidet
$m$: Steigung der Geraden f(x) = mx + b
$b$: y-Achsenabschnitt der Geraden

Die Gerade f(x) = mx + b schneidet die x-Achse an der Stelle x₀ = −b/m, sofern die Steigung nicht 0 ist.

Die Gerade f(x) = 2x − 6 schneidet die x-Achse in N(3 | 0), also ist x₀ = 3

Erklärung

Eine Nullstelle ist eine Stelle $x_0$ mit $f(x_0) = 0$ . Dort schneidet der Graph die x-Achse, im Punkt $N(x_0 \mid 0)$ .

Bei einer linearen Funktion $f(x) = mx + b$ gibt es genau eine Nullstelle, sobald die Steigung $m$ nicht $0$ ist. Bei $m = 0$ verläuft die Gerade waagerecht: Für $b \neq 0$ trifft sie die x-Achse nie, für $b = 0$ liegt sie auf der x-Achse.

Herleitung

Man setzt den Funktionsterm gleich $0$ und löst nach $x$ auf:

mx + b = 0 \;\Leftrightarrow\; mx = -b \;\Leftrightarrow\; x = -\frac{b}{m}

Beispiele

Nullstelle von $f(x) = 2x - 6$ :

x_0 = -\frac{-6}{2} = 3

Probe: $f(3) = 2 \cdot 3 - 6 = 0$ . Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $N(3 \mid 0)$ .

Nullstelle von $f(x) = -0{,}5x + 2$ :

x_0 = -\frac{2}{-0{,}5} = 4

Typische Fehler

Das Minuszeichen vergessen: Bei $f(x) = 2x - 6$ ergibt $\frac{b}{m} = -3$ , richtig ist $x_0 = 3$ . Eine Probe durch Einsetzen deckt den Fehler sofort auf.
Bruch umdrehen: $-\frac{m}{b}$ statt $-\frac{b}{m}$ .
Nullstelle und y-Achsenabschnitt verwechseln: $b$ ist der Schnittpunkt mit der y-Achse, die Nullstelle der Schnittpunkt mit der x-Achse.

Nullstelle einer linearen Funktion