Zwei-Punkte-Form einer Geraden

Mittelstufe

y = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1) + y_1

Voraussetzung: $x_1 \neq x_2$

$x_1, y_1$: Koordinaten des ersten Punkts P₁(x₁ | y₁)
$x_2, y_2$: Koordinaten des zweiten Punkts P₂(x₂ | y₂)
$x, y$: Koordinaten eines beliebigen Punkts auf der Geraden

Stellt die Gleichung der Geraden durch zwei gegebene Punkte P₁ und P₂ in einem Schritt auf.

Die Gerade durch P₁(−2 | 5) und P₂(2 | −3) hat die Gleichung y = −2x + 1

Erklärung

Durch zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade. Die Zwei-Punkte-Form liefert ihre Gleichung direkt: Der Bruch ist die Steigung $m$ , der Rest ist die Punkt-Steigungs-Form mit dem Punkt $P_1$ .

Die Formel setzt $x_1 \neq x_2$ voraus. Haben beide Punkte dieselbe x-Koordinate, ist die Gerade senkrecht und hat die Gleichung $x = x_1$ . Sie ist dann keine Funktion.

Welcher Punkt $P_1$ und welcher $P_2$ heißt, ist egal. Man muss nur oben und unten im Bruch dieselbe Reihenfolge einhalten.

Beispiele

Gerade durch $A(1 \mid 2)$ und $B(4 \mid 8)$ :

y = \frac{8 - 2}{4 - 1} \cdot (x - 1) + 2 = 2(x - 1) + 2 = 2x

Gerade durch $A(-2 \mid 5)$ und $B(2 \mid -3)$ :

y = \frac{-3 - 5}{2 - (-2)} \cdot (x + 2) + 5 = -2(x + 2) + 5 = -2x + 1

Typische Fehler

Im Bruch die Reihenfolge mischen, z.B. $\frac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}$ . Das dreht das Vorzeichen der Steigung um.
Negative Koordinaten ohne Klammer einsetzen: $2 - (-2) = 4$ , nicht $0$ .
Die Formel auf zwei Punkte mit gleicher x-Koordinate anwenden. Dann steht im Nenner $0$ .

Zwei-Punkte-Form einer Geraden