Steigungswinkel

Erklärung

Der Steigungswinkel $\alpha$ ist der Winkel, unter dem eine Gerade die x-Achse schneidet, gemessen von der positiven x-Achse aus. Im Steigungsdreieck ist $m$ die Gegenkathete zu $\alpha$, wenn die Ankathete die Länge $1$ hat. Deshalb gilt $\tan(\alpha) = m$.

Den Winkel erhält man mit der Umkehrfunktion des Tangens, auf dem Taschenrechner $\tan^{-1}$:

Steigende Geraden haben einen positiven Winkel, fallende einen negativen. Wer den Winkel lieber zwischen $0^\circ$ und $180^\circ$ angibt, rechnet bei fallenden Geraden $180^\circ + \alpha$ (mit negativem $\alpha$, der Winkel wird also kleiner als $180^\circ$). Eine senkrechte Gerade ($\alpha = 90^\circ$) hat keine Steigung und ist durch die Bedingung ausgeschlossen.

Beispiele

$m = 1$: $\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$.

$m = 0{,}5$: $\alpha = \arctan(0{,}5) \approx 26{,}57^\circ$.

$m = -2$: $\alpha = \arctan(-2) \approx -63{,}43^\circ$. Im Bereich $0^\circ$ bis $180^\circ$ (gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse aus gemessen) sind das $180^\circ + (-63{,}43^\circ) = 116{,}57^\circ$.

Ein Verkehrsschild zeigt $12\,\%$ Steigung, also $m = 0{,}12$:

Umgekehrt hat eine Gerade mit dem Steigungswinkel $30^\circ$ die Steigung $m = \tan(30^\circ) \approx 0{,}5774$.

Typische Fehler

• $100\,\%$ Steigung für eine senkrechte Wand halten: $100\,\%$ bedeutet $m = 1$, also $45^\circ$.
• Prozent nicht durch $100$ teilen: Bei $12\,\%$ ist $m = 0{,}12$. Mit $\arctan(12) \approx 85{,}24^\circ$ wäre die Straße fast senkrecht.
• Den Taschenrechner im Bogenmaß (RAD) lassen: Dann kommt $\arctan(1) \approx 0{,}785$ heraus statt $45$.
• Steigung und Winkel gleichsetzen: Zur Steigung $2$ gehören nicht $2^\circ$, sondern etwa $63{,}43^\circ$.