Halbwertszeit

Mittelstufe

N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_H}}

Voraussetzung: $T_H > 0$

$N(t)$: noch vorhandene Menge zum Zeitpunkt t
$N_0$: Anfangsmenge zum Zeitpunkt t = 0
$t$: vergangene Zeit
$T_H$: Halbwertszeit, in derselben Einheit wie t

Nach jeder Halbwertszeit T_H ist von einer exponentiell abnehmenden Menge nur noch die Hälfte übrig.

Graph von N(t) = 80 · (1/2)^(t/8), nach jeweils 8 Tagen halbiert sich die Menge

Erklärung

Viele Mengen nehmen exponentiell ab: radioaktive Stoffe, Medikamente im Blut, die Temperaturdifferenz beim Abkühlen. Statt eines Prozentsatzes gibt man dann oft die Halbwertszeit $T_H$ an. Das ist die Zeit, nach der nur noch die Hälfte der Menge vorhanden ist.

Der Exponent $\frac{t}{T_H}$ zählt, wie viele Halbwertszeiten vergangen sind. Nach einer Halbwertszeit ist noch $\frac{1}{2}$ da, nach zwei $\frac{1}{4}$ , nach drei $\frac{1}{8}$ . Die Menge wird kleiner, erreicht aber nie genau $0$ .

$t$ und $T_H$ müssen in derselben Einheit stehen, also beide in Tagen oder beide in Stunden.

Beispiele

Ein radioaktives Präparat hat eine Halbwertszeit von $8$ Tagen. Von $80\,\text{mg}$ sind nach $24$ Tagen, also nach drei Halbwertszeiten, noch

N(24) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{24}{8}} = 80 \cdot \frac{1}{8} = 10\,\text{mg}

übrig.

Ein Medikament hat im Körper eine Halbwertszeit von $6$ Stunden. Von $400\,\text{mg}$ sind nach $9$ Stunden noch

N(9) = 400 \cdot 0{,}5^{\frac{9}{6}} = 400 \cdot 0{,}5^{1{,}5} \approx 141{,}4\,\text{mg}

vorhanden.

Typische Fehler

Glauben, dass nach zwei Halbwertszeiten alles weg ist: Es ist noch ein Viertel da, $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 0{,}25$ .
Im Exponenten nur $t$ statt $\frac{t}{T_H}$ schreiben: Dann würde sich die Menge in jeder Zeiteinheit halbieren.
Einheiten mischen: Bei $T_H = 2$ Tagen und $t = 36$ Stunden ist $\frac{t}{T_H} = \frac{1{,}5}{2} = 0{,}75$ , nicht $18$ .

Halbwertszeit

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