Punktsymmetrie zum Ursprung

Oberstufe

f(-x) = -f(x)

Voraussetzung: $x \in D_f \Rightarrow -x \in D_f$

$f$: untersuchte Funktion
$x$: beliebige Stelle im Definitionsbereich
$D_f$: Definitionsbereich von f, muss symmetrisch zu 0 liegen

Ein Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f(−x) = −f(x) für jedes x im Definitionsbereich gilt.

Graph von f(x) = x³ − 2x; die Punkte bei x und −x liegen spiegelbildlich zum Ursprung

Erklärung

Ein Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn er bei einer Drehung um $180^\circ$ um den Ursprung in sich selbst übergeht. Rechnerisch: Zu $-x$ gehört immer der Gegenwert von $f(x)$ . Solche Funktionen heißen auch ungerade Funktionen.

Die Bedingung muss für jedes $x$ gelten. Zum Nachweis setzt man $-x$ allgemein ein und klammert $-1$ aus, bis $-f(x)$ dasteht. Mit $x$ muss auch $-x$ im Definitionsbereich liegen.

Bekannte ungerade Funktionen:

ganzrationale Funktionen mit nur ungeraden Exponenten, also auch ohne Absolutglied,
$\sin(x)$ , $\tan(x)$ und $\frac{1}{x}$ .

Gehört $0$ zum Definitionsbereich, gilt $f(0) = -f(0)$ , also $f(0) = 0$ : Der Graph geht dann durch den Ursprung.

Beispiele

$f(x) = x^3 - 2x$ :

f(-x) = (-x)^3 - 2(-x) = -x^3 + 2x = -\left(x^3 - 2x\right) = -f(x)

Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Ungerade Potenzen behalten das Minuszeichen.

$f(x) = x^3 + 1$ ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung: $f(-1) = 0$ , aber $-f(1) = -2$ . Der Graph ist nur um $1$ nach oben verschoben und deshalb punktsymmetrisch zum Punkt $(0 \mid 1)$ .

Typische Fehler

Nur $f(-x)$ ausrechnen und mit $f(x)$ vergleichen: Für Punktsymmetrie muss $f(-x)$ mit $-f(x)$ übereinstimmen.
Das Absolutglied übersehen: Schon $+1$ zerstört die Punktsymmetrie zum Ursprung.
Aus „nicht achsensymmetrisch“ auf „punktsymmetrisch“ schließen: $x^2 + x$ hat keine der beiden Symmetrien.

Punktsymmetrie zum Ursprung