Schnittpunkt zweier Geraden

Mittelstufe

x_S = \frac{b_2 - b_1}{m_1 - m_2}, \quad y_S = m_1 x_S + b_1

Voraussetzung: $m_1 \neq m_2$

$m_1, b_1$: Steigung und y-Achsenabschnitt der ersten Geraden y = m₁x + b₁
$m_2, b_2$: Steigung und y-Achsenabschnitt der zweiten Geraden y = m₂x + b₂
$x_S, y_S$: Koordinaten des Schnittpunkts S

Zwei Geraden mit verschiedenen Steigungen schneiden sich in genau einem Punkt; man findet ihn durch Gleichsetzen.

Die Geraden g mit y = 2x + 1 und h mit y = −x + 7 schneiden sich in S(2 | 5)

Erklärung

Im Schnittpunkt haben beide Geraden denselben y-Wert. Man setzt die Funktionsterme deshalb gleich:

m_1 x + b_1 = m_2 x + b_2

Nach $x$ aufgelöst ergibt das $x_S$ . Den y-Wert erhält man, indem man $x_S$ in eine der beiden Gleichungen einsetzt.

Die Formel braucht $m_1 \neq m_2$ . Bei gleicher Steigung sind die Geraden parallel: Bei $b_1 \neq b_2$ gibt es keinen Schnittpunkt, bei $b_1 = b_2$ sind sie identisch und haben unendlich viele gemeinsame Punkte.

Beispiele

$g\colon y = 2x + 1$ und $h\colon y = -x + 7$ :

2x + 1 = -x + 7 \quad\Rightarrow\quad 3x = 6 \quad\Rightarrow\quad x_S = 2

$y_S = 2 \cdot 2 + 1 = 5$ . Probe mit $h$ : $-2 + 7 = 5$ . Der Schnittpunkt ist $S(2 \mid 5)$ .

$g\colon y = 0{,}5x - 3$ und $h\colon y = -1{,}5x + 1$ :

x_S = \frac{1 - (-3)}{0{,}5 - (-1{,}5)} = \frac{4}{2} = 2, \qquad y_S = 0{,}5 \cdot 2 - 3 = -2

Typische Fehler

Nur $x_S$ ausrechnen und den y-Wert vergessen. Ein Schnittpunkt hat zwei Koordinaten.
Beim Umstellen Vorzeichen verlieren. Eine Probe durch Einsetzen in beide Gleichungen deckt das auf.
Bei gleicher Steigung trotzdem teilen: Im Nenner steht dann $0$ .

Schnittpunkt zweier Geraden