Zinseszins

Erklärung

Bei der Verzinsung mit Zinseszins werden die Zinsen am Ende jedes Jahres dem Kapital gutgeschrieben und im nächsten Jahr mitverzinst. Das Kapital wird also jedes Jahr mit dem Zinsfaktor $q = 1 + \frac{p}{100}$ multipliziert. Bei $3\,\%$ ist $q = 1{,}03$.

Das ist exponentielles Wachstum mit dem Kapital als Bestand und den Jahren als Zeitschritten. $n$ zählt die Verzinsungszeiträume, normalerweise ganze Jahre.

Die Formel lässt sich nach jeder Größe umstellen:

• Anfangskapital: $K_0 = \frac{K_n}{q^n}$
• Zinssatz: $q = \sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}}$, dann $p = 100 \cdot (q - 1)$
• Laufzeit: $n = \log_q \frac{K_n}{K_0}$

Beispiele

$2000$ € werden $5$ Jahre lang zu $3\,\%$ angelegt:

Die Zinsen betragen insgesamt $318{,}55$ €. Ohne Zinseszins wären es nur $5 \cdot 60 = 300$ €.

Wie viel muss man heute anlegen, um bei $2{,}5\,\%$ nach $4$ Jahren $5000$ € zu haben?

Bei welchem Zinssatz verdoppelt sich ein Kapital in $10$ Jahren? Aus $q^{10} = 2$ folgt

Typische Fehler

• Den Zinssatz falsch einsetzen: Bei $3\,\%$ ist $q = 1{,}03$, nicht $1{,}3$ und nicht $3$.
• Einfache Zinsen rechnen: $2000 + 5 \cdot 60 = 2300$ € ignoriert, dass auch die Zinsen verzinst werden.
• Monate statt Jahre für $n$ einsetzen, obwohl $p$ ein Jahreszinssatz ist.
• Beim Anfangskapital mit $q^n$ multiplizieren statt dividieren.