Verschieben und Strecken von Funktionen

Erklärung

Aus dem Graphen einer bekannten Funktion $f$ entstehen mit vier Parametern viele neue Graphen. Jeder Parameter hat eine eigene Wirkung:

• $d$ verschiebt den Graphen um $d$ nach oben (bei $d < 0$ nach unten).
• $c$ verschiebt den Graphen um $c$ nach rechts (bei $c < 0$ nach links). Das Minus in $x - c$ ist Absicht: An der Stelle $x = c$ wird derselbe Wert berechnet wie bei $f$ an der Stelle $0$.
• $a$ streckt in y-Richtung um den Faktor $a$. Bei $0 < |a| < 1$ wird gestaucht, bei $a < 0$ zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.
• $b$ wirkt in x-Richtung umgekehrt: Der Graph wird mit dem Faktor $\frac{1}{b}$ gestreckt. Bei $b = 2$ wird er also auf die halbe Breite gestaucht. Bei $b < 0$ wird zusätzlich an der y-Achse gespiegelt.

Ein Punkt $(u \mid v)$ auf dem Graphen von $f$ wird dabei zum Punkt

Beispiele

Aus der Normalparabel $f(x) = x^2$ wird $g(x) = 2(x - 3)^2 + 1$: $3$ nach rechts, mit $2$ gestreckt, $1$ nach oben. Der Scheitelpunkt wandert von $(0 \mid 0)$ nach $(3 \mid 1)$, der Punkt $(1 \mid 1)$ nach $(4 \mid 3)$. Probe: $g(4) = 2 \cdot 1^2 + 1 = 3$.

Aus $f(x) = \sin(x)$ wird $g(x) = 3 \sin(2x)$. Die Amplitude ist $3$, die Periode halbiert sich von $2\pi$ auf $\pi$. Das Maximum liegt bei $x = \frac{\pi}{4}$ mit $g\left(\frac{\pi}{4}\right) = 3$.

Bei $g(x) = f(2x - 6)$ klammert man zuerst den Faktor vor $x$ aus: $f(2x - 6) = f\bigl(2(x - 3)\bigr)$. Der Graph wird also auf die halbe Breite gestaucht und um $3$ nach rechts verschoben.

Typische Fehler

• Die Richtung der x-Verschiebung verwechseln: $f(x - 3)$ ist um $3$ nach rechts verschoben, nicht nach links.
• Bei $f(2x - 6)$ eine Verschiebung um $6$ ablesen: Erst nach dem Ausklammern zu $f\bigl(2(x - 3)\bigr)$ sieht man die Verschiebung um $3$.
• $b$ wie $a$ behandeln: $f(2x)$ ist in x-Richtung gestaucht, nicht gestreckt.
• Die Reihenfolge in y-Richtung vertauschen: $2 \cdot (x^2 + 1) = 2x^2 + 2$ ist etwas anderes als $2x^2 + 1$. In der Formel wird erst gestreckt, dann verschoben.