Natürliche Exponentialfunktion

Oberstufe

f(x) = e^x

$e$: Eulersche Zahl, e ≈ 2,71828
$x$: Eingabewert, steht im Exponenten
$f(x)$: Funktionswert an der Stelle x

Die e-Funktion ist die Exponentialfunktion zur Basis e ≈ 2,718; sie ist ihre eigene Ableitung.

Graph der e-Funktion durch (0 | 1) und (1 | e); gestrichelt die Tangente y = x + 1, ihre Steigung 1 ist gleich dem Funktionswert

Erklärung

Die natürliche Exponentialfunktion, kurz e-Funktion, ist die Exponentialfunktion mit der Eulerschen Zahl $e \approx 2{,}71828$ als Basis. $e$ ist eine feste irrationale Zahl wie $\pi$ , keine Variable.

Die Basis $e$ ist deshalb besonders, weil die e-Funktion ihre eigene Ableitung ist: $f'(x) = e^x$ . An jeder Stelle ist die Steigung des Graphen also so groß wie der Funktionswert. Deshalb beschreibt man Wachstums- und Zerfallsvorgänge in der Oberstufe meist mit $e$ .

Eigenschaften:

$f(0) = 1$ , der Graph schneidet die y-Achse in $(0 \mid 1)$ .
$e^x > 0$ für alle $x$ ; es gibt keine Nullstelle. Für $x \to -\infty$ nähert sich der Graph der x-Achse.
Der Graph steigt überall.
Die Umkehrfunktion ist der natürliche Logarithmus: $\ln(e^x) = x$ .

Jede Exponentialfunktion mit positiver Basis lässt sich mit $e$ schreiben, weil $a = e^{\ln a}$ gilt:

a^x = e^{x \cdot \ln a} \quad (a > 0)

Beispiele

Werte der e-Funktion mit dem Taschenrechner:

e^2 \approx 7{,}39, \qquad e^{-1} = \frac{1}{e} \approx 0{,}3679

Umschreiben auf die Basis $e$ : Mit $\ln 2 \approx 0{,}6931$ wird

3 \cdot 2^x = 3 \cdot e^{\ln 2 \cdot x} \approx 3 \cdot e^{0{,}6931 x}

Typische Fehler

Beim Ableiten die Potenzregel anwenden: $(e^x)' = e^x$ , nicht $x \cdot e^{x-1}$ . Die Variable steht im Exponenten, nicht in der Basis.
Potenzgesetze falsch anwenden: $e^x \cdot e^x = e^{2x}$ , nicht $e^{x^2}$ .
$e^{-x}$ für negativ halten: Das Minus steht im Exponenten, $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$ ist immer positiv.

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