Potenzfunktion

Erklärung

Bei einer Potenzfunktion steht die Variable $x$ in der Basis, der Exponent $n$ ist eine feste ganze Zahl. Das unterscheidet sie von der Exponentialfunktion, bei der $x$ im Exponenten steht.

Die Form des Graphen hängt vom Exponenten ab:

• $n$ positiv und gerade ($x^2$, $x^4$, …): Parabel, symmetrisch zur y-Achse, für $a > 0$ nach oben geöffnet.
• $n$ positiv und ungerade ($x^3$, $x^5$, …): Für $a > 0$ kommt der Graph von links unten und geht nach rechts oben. Er ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
• $n$ negativ ($x^{-1}$, $x^{-2}$, …): Der Graph ist eine Hyperbel. An der Stelle $0$ ist die Funktion nicht definiert, die beiden Achsen sind Asymptoten.

Für $a = 1$ gehen alle Graphen durch den Punkt $(1 \mid 1)$. Bei positivem $n$ gilt: Je größer $n$, desto flacher verläuft der Graph zwischen $-1$ und $1$ und desto steiler außerhalb.

Beispiele

$f(x) = 0{,}5 \cdot x^3$ hat einen ungeraden Exponenten. Die Funktionswerte an $2$ und $-2$ unterscheiden sich nur im Vorzeichen:

$f(x) = 2 \cdot x^{-2} = \frac{2}{x^2}$ hat einen negativen, geraden Exponenten. Die Werte an $2$ und $-2$ sind gleich:

Typische Fehler

• Beim Einsetzen negativer Zahlen die Klammer vergessen: $(-2)^4 = 16$, aber $-2^4 = -16$.
• Den negativen Exponenten als Vorzeichen lesen: $x^{-2}$ ist $\frac{1}{x^2}$, nicht $-x^2$. Zum Beispiel ist $3^{-2} = \frac{1}{9}$.
• Bei negativem Exponenten $x = 0$ einsetzen: Dort ist die Funktion nicht definiert.