Logistisches Wachstum

Oberstufe

f(t) = \frac{S}{1 + \left(\frac{S}{f(0)} - 1\right) \cdot e^{-kSt}}

Voraussetzung: $S > 0,$ $0 < f(0) < S,$ $k > 0$

$f(t)$: Bestand zum Zeitpunkt t
$f(0)$: Anfangsbestand zum Zeitpunkt 0
$S$: Schranke (Sättigungswert, Kapazität)
$k$: Wachstumskonstante aus f'(t) = k · f(t) · (S − f(t))
$t$: Zeit
$e$: Eulersche Zahl, e ≈ 2,71828

Logistisches Wachstum beginnt fast exponentiell und flacht dann zur Schranke S hin ab; der Graph ist eine S-Kurve.

S-Kurve f(t) = 1000/(1 + 19 · e^(−0,4t)) mit Anfangsbestand 50, Wendepunkt bei 500 Tieren nach etwa 7,4 Jahren und Schranke S = 1000

Erklärung

Logistisches Wachstum beschreibt einen Bestand, der zuerst fast exponentiell wächst und dann gebremst wird, weil Platz, Nahrung oder Interessenten knapp werden. Die Änderung ist proportional zum Bestand und zum Abstand zur Schranke $S$ :

f'(t) = k \cdot f(t) \cdot \bigl(S - f(t)\bigr)

Die Formel ist die Lösung dieser Differentialgleichung. Ihr Graph ist eine S-Kurve:

Solange $f(t)$ klein gegenüber $S$ ist, wächst der Bestand annähernd exponentiell.
Am Wendepunkt ist $f(t) = \frac{S}{2}$ ; dort ist das Wachstum am stärksten. Das ist zur Zeit $t_W = \frac{\ln\left(\frac{S}{f(0)} - 1\right)}{kS}$ .
Danach nähert sich der Bestand der Schranke $S$ , erreicht sie aber nie.

Manche Bücher schreiben den Exponenten als $-rt$ mit $r = kS$ . Dann ist $r$ näherungsweise die anfängliche Wachstumsrate (genau gilt $\frac{f'(0)}{f(0)} = k\,(S - f(0))$ , und das ist nur für $f(0) \ll S$ etwa $kS$ ). Vor dem Rechnen sollte man prüfen, welche Schreibweise eine Aufgabe verwendet.

Beispiele

Auf einer Insel leben $50$ Kaninchen, Platz ist für höchstens $1000$ . Mit $k = 0{,}0004$ ist $kS = 0{,}4$ pro Jahr, und $\frac{S}{f(0)} - 1 = 19$ . Nach $5$ Jahren:

f(5) = \frac{1000}{1 + 19 \cdot e^{-0{,}4 \cdot 5}} = \frac{1000}{1 + 19 \cdot e^{-2}} \approx 280

Am stärksten wächst die Population, wenn $500$ Tiere erreicht sind:

t_W = \frac{\ln 19}{0{,}4} \approx 7{,}4 \text{ Jahre}

Typische Fehler

Im Exponenten $k$ statt $kS$ verwenden: Mit $e^{-0{,}0004 \cdot 5}$ kämen nach $5$ Jahren ungefähr $50$ Tiere heraus, also praktisch keine Änderung.
Glauben, das Wachstum sei am Anfang am größten: Das gilt beim beschränkten Wachstum. Beim logistischen Wachstum ist die Zunahme bei $\frac{S}{2}$ am größten.
Annehmen, die Schranke werde nach endlicher Zeit erreicht: $f(t)$ bleibt immer kleiner als $S$ .

Logistisches Wachstum