Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen

Oberstufe

\begin{array}{ll} n < m\colon & y = 0 \\ n = m\colon & y = \dfrac{a_n}{b_m} \\ n = m + 1\colon & \text{schiefe} \\ & \text{Asymptote} \end{array}

Voraussetzung: $a_n \neq 0,$ $b_m \neq 0$

$n$: Grad des Zählerpolynoms
$m$: Grad des Nennerpolynoms
$a_n$: Leitkoeffizient des Zählers (Faktor vor xⁿ)
$b_m$: Leitkoeffizient des Nenners (Faktor vor xᵐ)
$y$: Gleichung der waagerechten Asymptote

Das Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion für x → ±∞ hängt nur vom Zählergrad n und Nennergrad m ab.

Graph von f(x) = (2x² + 1)/(x² − 4): Zähler- und Nennergrad sind gleich, die waagerechte Asymptote ist y = 2; senkrechte Asymptoten bei x = −2 und x = 2

Erklärung

Eine gebrochenrationale Funktion ist ein Bruch aus zwei Polynomen, $f(x) = \frac{a_n x^n + \dots + a_0}{b_m x^m + \dots + b_0}$ . Für sehr große $|x|$ bestimmen nur die höchsten Potenzen, wie sich der Graph verhält:

$n < m$ : Der Nenner wächst schneller, der Graph nähert sich der x-Achse. Waagerechte Asymptote $y = 0$ .
$n = m$ : Die höchsten Potenzen kürzen sich weg. Waagerechte Asymptote $y = \frac{a_n}{b_m}$ .
$n = m + 1$ : Es gibt eine schiefe Asymptote $y = sx + t$ . Man findet sie mit Polynomdivision: Der ganzrationale Teil des Ergebnisses ist die Asymptote, der Restbruch geht gegen $0$ .
$n > m + 1$ : Der Graph nähert sich einer ganzrationalen Kurve höheren Grades, es gibt keine Asymptote als Gerade.

Senkrechte Asymptoten liegen an den Polstellen, also an Nullstellen des Nenners, die sich nicht wegkürzen lassen.

Beispiele

$f(x) = \frac{2x^2 + 1}{x^2 - 4}$ : Zähler- und Nennergrad sind $2$ . Die waagerechte Asymptote ist $y = \frac{2}{1} = 2$ . Senkrechte Asymptoten liegen bei $x = -2$ und $x = 2$ .

$f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$ : Der Zählergrad ist um $1$ größer. Polynomdivision ergibt

\frac{x^2 + 1}{x - 1} = x + 1 + \frac{2}{x - 1}

Der Restbruch geht gegen $0$ , die schiefe Asymptote ist $y = x + 1$ .

$f(x) = \frac{3x}{x^2 + 1}$ : Der Nennergrad ist größer, die Asymptote ist die x-Achse $y = 0$ .

Typische Fehler

Bei $n = m$ die Asymptote $y = 1$ angeben. Entscheidend ist der Quotient der Leitkoeffizienten, nicht nur der Grad.
Bei der schiefen Asymptote den Restbruch mitnehmen. Die Asymptote ist nur der ganzrationale Teil.
Jede Nennernullstelle als senkrechte Asymptote ansehen. Kürzt sie sich weg, liegt eine hebbare Lücke vor.
Glauben, der Graph könne seine waagerechte Asymptote nie schneiden. Für endliche $x$ ist das möglich, die Asymptote beschreibt nur das Verhalten für $x \to \pm\infty$ .

Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen