Normalform der Parabel

Mittelstufe

f(x) = x^2 + px + q

$p$: Koeffizient vor x
$q$: konstantes Glied, zugleich der y-Achsenabschnitt
$x$: beliebige reelle Zahl

Eine Parabel mit dem Faktor 1 vor x² hat die Form x² + px + q; ihr Graph ist eine verschobene Normalparabel.

Graph von f(x) = x² − 6x + 5 mit dem Scheitelpunkt S(3 | −4), grau die Normalparabel

Erklärung

Steht vor $x^2$ der Faktor $1$ , spricht man von der Normalform einer quadratischen Funktion. Ihr Graph ist die Normalparabel $y = x^2$ , nur verschoben: nach oben geöffnet, weder gestreckt noch gestaucht.

Aus $p$ und $q$ liest man direkt ab:

den y-Achsenabschnitt $q$ , denn $f(0) = q$ ,
den Scheitelpunkt $S\left(-\tfrac{p}{2} \,\middle|\, q - \tfrac{p^2}{4}\right)$ ,
die Nullstellen mit der p-q-Formel.

Die allgemeine Form $f(x) = ax^2 + bx + c$ mit $a \neq 1$ ist keine Normalform.

Herleitung

Mit quadratischer Ergänzung wird aus der Normalform die Scheitelpunktform:

x^2 + px + q = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \frac{p^2}{4} + q

Der Scheitelpunkt liegt dort, wo die Klammer null wird, also bei $x = -\tfrac{p}{2}$ .

Beispiele

$f(x) = x^2 - 6x + 5$ hat $p = -6$ und $q = 5$ :

x_S = -\frac{-6}{2} = 3, \qquad y_S = 5 - \frac{(-6)^2}{4} = 5 - 9 = -4

Der Scheitelpunkt ist $S(3 \mid -4)$ , also $f(x) = (x - 3)^2 - 4$ . Die Nullstellen sind $x_1 = 1$ und $x_2 = 5$ .

$f(x) = x^2 + 4x + 7$ hat den Scheitelpunkt $S(-2 \mid 3)$ , denn $7 - \tfrac{16}{4} = 3$ . Er liegt oberhalb der x-Achse, und die Parabel ist nach oben geöffnet: Es gibt keine Nullstellen.

Typische Fehler

Das Vorzeichen beim Scheitelpunkt: Bei $x^2 - 6x$ liegt der Scheitel bei $x = +3$ , nicht bei $-3$ .
Eine Funktion wie $f(x) = 2x^2 + 8x + 6$ durch $2$ teilen, um eine Normalform zu bekommen. Das ändert die Funktion. Teilen darf man nur bei der Gleichung $f(x) = 0$ , etwa für die Nullstellen.
$q$ mit dem y-Wert des Scheitels verwechseln: Der Scheitel liegt bei $y = q - \tfrac{p^2}{4}$ .

Normalform der Parabel