Scheitelpunktform

Mittelstufe

f(x) = a(x - d)^2 + e

Voraussetzung: $a \neq 0$

$a$: Streckfaktor, bestimmt Öffnung und Form der Parabel
$d$: x-Koordinate des Scheitelpunkts (Verschiebung nach rechts)
$e$: y-Koordinate des Scheitelpunkts (Verschiebung nach oben)
$S(d \mid e)$: Scheitelpunkt der Parabel

In der Scheitelpunktform f(x) = a(x − d)² + e liest man den Scheitelpunkt S(d | e) direkt ab.

Graph von f(x) = 2(x − 3)² + 1 mit dem Scheitelpunkt S(3 | 1), grau die Normalparabel

Erklärung

Die Scheitelpunktform ist eine zweite Schreibweise für quadratische Funktionen. Ihr Vorteil: Der Scheitelpunkt $S(d \mid e)$ steht direkt in der Gleichung.

Man kann sie als verschobene Normalparabel lesen:

$a$ streckt oder staucht die Parabel und spiegelt sie bei $a < 0$ an der x-Achse (wie bei $f(x) = ax^2 + bx + c$ ).
$d$ verschiebt sie in x-Richtung, $e$ in y-Richtung.

Achtung beim Ablesen: In der Klammer steht $x - d$ . Aus $(x - 3)^2$ folgt $d = 3$ , aus $(x + 3)^2 = (x - (-3))^2$ folgt $d = -3$ .

Bei $a > 0$ ist $e$ der kleinste Funktionswert, bei $a < 0$ der größte. Den Weg von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform geht man mit der quadratischen Ergänzung, umgekehrt durch Ausmultiplizieren mit der binomischen Formel.

Beispiele

$f(x) = 2(x - 3)^2 + 1$ hat den Scheitelpunkt $S(3 \mid 1)$ und ist nach oben geöffnet. Ausmultipliziert:

2(x - 3)^2 + 1 = 2(x^2 - 6x + 9) + 1 = 2x^2 - 12x + 19

$f(x) = -(x + 2)^2 + 4$ hat $a = -1$ , $d = -2$ und $e = 4$ , also $S(-2 \mid 4)$ , nach unten geöffnet. Nullstellen:

-(x + 2)^2 + 4 = 0 \;\Leftrightarrow\; (x + 2)^2 = 4 \;\Leftrightarrow\; x + 2 = \pm 2

Also $x_1 = 0$ und $x_2 = -4$ .

Typische Fehler

Das Vorzeichen von $d$ falsch ablesen: Bei $f(x) = (x + 2)^2 - 1$ ist der Scheitelpunkt $S(-2 \mid -1)$ , nicht $S(2 \mid -1)$ .
Das Vorzeichen von $e$ mit umdrehen: $e$ wird so übernommen, wie es dasteht. Bei $+4$ ist $e = 4$ .
Beim Ausmultiplizieren den Faktor $a$ nur mit $x^2$ multiplizieren: $2(x - 3)^2 = 2x^2 - 12x + 18$ , nicht $2x^2 - 6x + 9$ .
Erst $a$ in die Klammer ziehen und dann quadrieren: $2(x - 3)^2$ ist nicht $(2x - 6)^2$ .

Scheitelpunktform