Beschränktes Wachstum

Oberstufe

f(t) = S - \bigl(S - f(0)\bigr) \cdot e^{-kt}

Voraussetzung: $k > 0$

$f(t)$: Bestand zum Zeitpunkt t
$f(0)$: Anfangsbestand zum Zeitpunkt 0
$S$: Schranke (Sättigungswert), der sich der Bestand nähert
$k$: Wachstumskonstante, bestimmt, wie schnell sich f an S annähert
$t$: Zeit
$e$: Eulersche Zahl, e ≈ 2,71828

Beim beschränkten Wachstum nimmt der Abstand zur Schranke S exponentiell ab; der Bestand nähert sich S.

Graph von f(t) = 1000 − 800 · e^(−0,1t), der Bestand nähert sich der Schranke S = 1000

Erklärung

Beim beschränkten Wachstum nähert sich ein Bestand einer festen Schranke $S$ an, ohne sie zu überschreiten. Die Änderung ist proportional zum Abstand $S - f(t)$ , dem Sättigungsmanko:

f'(t) = k \cdot \bigl(S - f(t)\bigr)

Je näher der Bestand an $S$ ist, desto langsamer wächst er. Das Sättigungsmanko selbst nimmt exponentiell ab: $S - f(t) = \bigl(S - f(0)\bigr) \cdot e^{-kt}$ . Daraus folgt die Formel.

Typische Anwendungen sind Abkühlen und Erwärmen (die Schranke ist die Umgebungstemperatur), Lernkurven oder die Verbreitung eines Produkts mit fester Zielgruppe. Liegt der Anfangswert über $S$ , fällt der Bestand von oben auf $S$ zu; die Formel gilt dann unverändert (beschränkte Abnahme).

Die Bedingung $k > 0$ sorgt dafür, dass $e^{-kt}$ gegen $0$ geht und $f(t)$ sich tatsächlich $S$ nähert.

Beispiele

Ein Tee hat $90\,^\circ\text{C}$ und kühlt in einem $20\,^\circ\text{C}$ warmen Raum ab, mit $k = 0{,}05$ pro Minute. Nach $10$ Minuten:

f(10) = 20 - (20 - 90) \cdot e^{-0{,}05 \cdot 10} = 20 + 70 \cdot e^{-0{,}5} \approx 62{,}5\,^\circ\text{C}

Wann hat der Tee $50\,^\circ\text{C}$ ? Aus $20 + 70 \cdot e^{-0{,}05t} = 50$ folgt $e^{-0{,}05t} = \frac{30}{70}$ , also

t = \frac{\ln\left(\frac{70}{30}\right)}{0{,}05} \approx 16{,}9 \text{ Minuten}

Eine Neuheit spricht sich in einer Stadt mit $1000$ möglichen Interessenten herum. Am Anfang kennen sie $200$ , die Wachstumskonstante ist $k = 0{,}1$ pro Tag. Nach $5$ Tagen:

f(5) = 1000 - 800 \cdot e^{-0{,}5} \approx 514{,}8

Typische Fehler

Den Faktor vor der e-Funktion falsch wählen: Es ist $S - f(0) = 800$ , nicht $f(0) = 200$ . Mit $1000 - 200 \cdot e^{-0{,}5} \approx 878{,}7$ stimmt nicht einmal der Startwert.
Das Minus im Exponenten vergessen: $e^{kt}$ wächst über alle Grenzen, der Bestand würde sich nicht an $S$ annähern.
Beschränktes und logistisches Wachstum verwechseln: Beim beschränkten Wachstum ist die Zunahme am Anfang am größten, der Graph hat keinen Wendepunkt.

Beschränktes Wachstum